Chủ đề này có 5 trả lời

[WhjteShadow]

Mình vừa tìm được 1 số bài toán liên quan đến phương tích và trục đẳng phương.P0st lên ch0 mọi người cùng thảo luận
Bài toán 1.
Ch0 đường tròn tâm $O$ và 1 điểm $A$ ngoài đường tròn.Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AB,AC$ với $(O)$. $E,F$ là trung điểm $AB,AC$.$D$ là điểm bất kì thuộc $EF$.Từ $D$ kẻ tiếp tuyến $DP,DQ$ rới $O$.$PQ$ cắt $EF$ tại $M$.
Chứng minh rằng: $\widehat{DAM}=90^{o}$
Bài toán 2.
Ch0 hình thang cân $ABCD$ có $CD$ là đáy lớn.Xét điểm $M$ di động trên $CD$ ch0 $M$ không trùng $C,D$.Gọi $N$ là giao điểm thứ 2 khác $M$ của đường tròn đi qua 3 điểm $B,C,M$ và $D,A,M$.Chứng minh rằng:
a)$N$ thuộc đường tròn cố định
b)$MN$ đi qua điểm cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 04-10-2012 - 22:05

[BlackSelena]

Mình vừa tìm được 1 số bài toán liên quan đến phương tích và trục đẳng phương.P0st lên ch0 mọi người cùng thảo luận
Bài toán 1.
Ch0 đường tròn tâm $O$ và 1 điểm $A$ ngoài đường tròn.Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AB,AC$ với $(O)$. $E,F$ là trung điểm $AB,AC$.$D$ là điểm bất kì thuộc $EF$.Từ $D$ kẻ tiếp tuyến $DP,DQ$ rới $O$.$PQ$ cắt $EF$ tại $M$.
Chứng minh rằng: $\widehat{DAM}=90^{o}$

Ta có $EA^2 = EB^2, FA^2 = FC^2$ nên $EF$ là trục đẳng phương của $(A,0)$ và $(O)$ (chấp nhận kí hiệu $(A,0)$ là đường tròn tâm $A$ bán kính 0)
$\Rightarrow DA^2 = DP^2 = DQ^2 \Leftrightarrow DA = DP = DQ$
Vậy $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle APQ$
Mặt khác, vì $M \in EF-\text{ trục đẳng phương của (A,0) và (O)}$ nên $MA^2 = MP . PQ$
$\Rightarrow \angle MAP =\angle MQA$
Điều này có nghĩa $MA$ là tiếp tuyến , tức $\angle DAM = 90^o$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 04-10-2012 - 22:31

[yeutoan11]

a).Ta có $\widehat{ANB}=2\widehat{ADC}$ không đôi => ĐPCM
b).gọi $P$ là giao điểm $AD$ và $BC$
Ta có $AD$ là trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O)$
$\Rightarrow P_{P/(O_1)}=P_{P/(O)}$(1)
$BC$ là trục đẳng phương của $(O_2)$ và $(O)$
$\Rightarrow P_{P/(O_2)}=P_{P/(O)}$(2)
(1),(2)
$\Rightarrow P_{P/(O_1)}=P_{P/(O_2)}$
$\Rightarrow $$P$ thuộc trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$
hay P thuộc MN
Vật MN luôn qua P cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 04-10-2012 - 23:11

[WhjteShadow]

Bài toán 3.
Ch0 $\triangle ABC$.Đường tròn tâm O bất kì đi qua $B,C$ và không qua $A$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$.Gọi $M,P$ lần lượt là trực tâm $\triangle ADE,\triangle ABC$.$BE$ cắt $CD$ tại $N$.
Chứng minh: $M,N,P$ thẳng hàng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 05-10-2012 - 19:38

[BlackSelena]

Bài toán 3.
Ch0 $\triangle ABC$.Đường tròn tâm O bất kì đi qua $B,C$ và không qua $A$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$.Gọi $M,P$ lần lượt là trực tâm $\triangle ADE,\triangle ABC$.$DE$ cắt $CD$ tại $N$.
Chứng minh: $M,N,P$ thẳng hàng

Đề đúng chắc là $BE \cap CD = N$, và đây chính là MSS trận 2 - Hình học
P/s: hình như có lời giải dùng trục đẳng phương của anh "Trần Đức Anh @@" thì phải ^^

[Secrets In Inequalities VP]

Bài toán 3.
Ch0 $\triangle ABC$.Đường tròn tâm O bất kì đi qua $B,C$ và không qua $A$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$.Gọi $M,P$ lần lượt là trực tâm $\triangle ADE,\triangle ABC$.$BE$ cắt $CD$ tại $N$.
Chứng minh: $M,N,P$ thẳng hàng

P/s: hình như có lời giải dùng trục đẳng phương của anh "Trần Đức Anh @@" thì phải ^^

Và đây là lời giải dùng trục đẳng phương của anh "Tuấn Anh" =))
Hạ $DH\perp AE;EG\perp AD;BR\perp AC;CS\perp AB$
Gọi đường tròn đường kính $BE,CF$ lần lượt là $(C_1),(C_2)$
Dễ thấy $B,G,E,R\in (C_1)$ , $C,H,D,S\in (C_21)$
Dễ thấy tứ giác $DGHE$ nội tiếp
$\Rightarrow MH.MD=MG.ME$ $\Rightarrow P_{M/(C_1)}=P_{M/(C_2)}$
suy ra M thuộc trục đẳng phương của $(C_1),(C_2)$
Tương tự : P thuộc trục đẳng phương của $(C_1),(C_2)$
Mà $BDEC$ nội tiếp nên
$\Rightarrow ND.NC=NE.NB$ $\Rightarrow P_{N/(C_1)}=P_{N/(C_2)}$
suy ra N thuộc trục đẳng phương của $(C_1),(C_2)$
Vậy $M,N,P$ thẳng hàng .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 14-10-2012 - 10:08