Chủ đề này có 10 trả lời

[tim1nuathatlac]

Bài toán 1 Cho $a,b,c\in \left [ \frac{1}{2};2 \right ]$ .

Chứng minh rằng $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq \frac{225}{16}$

Bài toán 2 Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau:

1) $\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3abc}$

2) $\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}$

[Joker9999]

Bài toán 2 Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau:



2) $\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}$

Giải như sau:
BDT đã cho tương đương với:
$\sum \frac{a^2}{ab+2ac}\leq \frac{\sum a^2}{\sum ab}\Leftrightarrow \sum (\frac{a^2}{ab+ac+bc}-\frac{a^2}{ab+2ac})\geq 0\Leftrightarrow \sum a^2(\frac{c(a-b)}{(ab+ac+bc)(ab+2ac)})\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{ac(a-b)}{b+2c}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)}{b^2+2bc}\geq 0\Leftrightarrow (a-b)(\frac{1}{b^2+2bc}-\frac{1}{a^2+2ab})+(b-c)(\frac{1}{c^2+2ac}-\frac{1}{a^2+2ab})$
Ta giả sử b là số ở giữa a và c ta có ngay đpcm bởi nếu $a\geq b\geq c$ thì 4 ngoặc cùng dương, $a\leq b\leq c$ thì 4 ngoặc cùng âm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

[Joker9999]

Bài toán 2 Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau:

1) $\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3abc}$

Giải như sau:
Ta sẽ chứng minh:$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}\Leftrightarrow \frac{\sum (a-b)^2}{ab+ac+bc}\leq \frac{(a+b+c)(\sum (a-b)^2)}{3abc}\Leftrightarrow (a-b)^2(\frac{a+b+c}{3abc}-\frac{1}{ab+ac+bc})\geqslant 0$
Điều này là hiển nhiên do theo AM-GM thì$(a+b+c)(ab+ac+bc)\geq 9abc>3abc$
Ta có kết quả từ bài 2:
$\sum \frac{a}{b+2c}\leq \frac{\sum a^2}{\sum ab}$
Từ đây ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

[Joker9999]

Bài toán 1 Cho $a,b,c\in \left [ \frac{1}{2};2 \right ]$ .

Chứng minh rằng $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq \frac{225}{16}$

Bạn có thể cho điểm rơi được ko? Mình thấy đề có vấn đề thì phải

[dark templar]

Bạn có thể cho điểm rơi được ko? Mình thấy đề có vấn đề thì phải

Bài này không có dấu bằng đâu bạn,nhưng đề vẫn đúng Tổng quát hơn,ta có:
Tổng quát: Cho hằng số $\alpha \in (0;1)$ và $n$ tham số dương $t_1;t_2;...;t_{n}$ sao cho tổng của chúng bằng 1.Giả thuyết rằng $n$ biến số $a_1;a_2;...a_{n}$ nằm trong đoạn $\left[\alpha;\frac{1}{\alpha} \right]$.Chứng minh rằng:
$$\left ( t_1a_1+...+t_{n}a_{n} \right )\left ( \frac{t_1}{a_1}+...+\frac{t_{n}}{a_{n}} \right ) \le \frac{1}{4}\left ( \alpha +\frac{1}{\alpha } \right )^2$$

P/s:Mình nhớ là anh Thành(WWW) đã từng tổng quát bài này hơn nữa,cho $a_{i} \in [\alpha;\beta]$ sao cho $\alpha.\beta=1$,nhưng cũng lâu rồi nên không nhớ đường link để dẫn cho bạn

[tim1nuathatlac]

Bài toán 2 Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau:

1) $\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3abc}$

Đây là lời giải của mình.

1) Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 3 số dương quen thuộc với các em THCS

Cách 1 Hãy để ý cách đánh giá sau $\frac{a}{b+2c}=\frac{a^{2}\left ( 2b+c \right )}{a\left ( c+2c \right )\left ( 2b+c \right )}\leq \frac{a^{2}\left ( 2b+c \right )}{9abc}$

Tương tự ta phải chỉ ra $3\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )\geq a^{2}\left ( 2b+c \right )+b^{2}\left ( 2c+a \right )+c^{2}\left ( 2a +b \right )$

Nhưng bất đẳng thức này luôn đúng vì $2\left ( a^{3}+a^{3}+b^{3} \right )+\left ( a^{3}+a^{3}+c^{^{3}} \right )\geq^{AM-GM} 3a^{2}\left ( 2b+c \right )$

Cách 2 $Q.e.D\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a.abc}{b+2c}\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$

Sử dụng bất đẳng thức sau $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$ , $\forall a,b,c$ là các số thực dương.

Để áp dụng BĐT trên thì ta tách như sau: $\frac{a.abc}{b+2c}=\frac{a}{9}\left ( \frac{abc}{b}+\frac{2abc}{c} \right )=\frac{a^{2}c+2a^{2}b}{9}$

$\Rightarrow abc\left ( \sum_{cyc}\frac{a}{b+2c} \right )\leq \frac{\left ( a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b \right )+2\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )}{9}$

Như vậy bài toán được chứng minh nếu ta chỉ ra được $\left (a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b \right )+2\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )\leq 3\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )$ luôn đúng$\square$

---------------------------------------------------

Ở cách 1 , tại sao lại biết nhân thêm $\left ( 2b+c \right )$ xin dành chp các em THCS

----------------------------

Bài toán 1 Cho $a,b,c\in \left [ \frac{1}{2};2 \right ]$ .

Chứng minh rằng $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq \frac{225}{16}$

$a \in \left [ \frac{1}{2};2 \right ]\Rightarrow \left ( a-\frac{1}{2} \right )\left ( a-2 \right )\leq 0\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}\leq \frac{5}{2}$

Từ đó $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq ^{AM-GM}\frac{\left ( a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^{2}}{4}\leq \frac{225}{16}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 07-12-2012 - 20:28

[pcfamily]

$a \in \left [ \frac{1}{2};2 \right ]\Rightarrow \left ( a-\frac{1}{2} \right )\left ( a-2 \right )\leq 0\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}\leq \frac{5}{2}$

Từ đó $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq ^{AM-GM}\frac{\left ( a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^{2}}{4}\leq \frac{225}{16}$

Dấu "=" xảy ra ???

[dark templar]

Dấu "=" xảy ra ???

Không có dấu bằng xảy ra đâu bạn Dễ thấy rằng đẳng thức xảy ra khi ta phải chọn được $a,b,c$ từ tập hợp $\left \{\frac{1}{2};2 \right \}$ sao cho $a+b+c=\frac{15}{4}$,mà nhận thấy rằng điều này không thể có được.

[pcfamily]

Không có dấu bằng xảy ra đâu bạn Dễ thấy rằng đẳng thức xảy ra khi ta phải chọn được $a,b,c$ từ tập hợp $\left \{\frac{1}{2};2 \right \}$ sao cho $a+b+c=\frac{15}{4}$,mà nhận thấy rằng điều này không thể có được.

Vâng, thế mới thắc mắc bài làm của bạn trên

[dark templar]

Vâng, thế mới thắc mắc bài làm của bạn trên

Ý bạn muốn thắc mắc về cái gì ? Đôi khi chúng ta giải BĐT không nhất thiết lúc nào cũng phải có đẳng thức xảy ra đâu bạn.

[pcfamily]

Ý bạn muốn thắc mắc về cái gì ? Đôi khi chúng ta giải BĐT không nhất thiết lúc nào cũng phải có đẳng thức xảy ra đâu bạn.

Vâng em biết thế, vì đề bài và bài làm của bạn ấy có dấu "=" em mới thắc mắc ạ