Chủ đề này có 565 trả lời

[Viet Hoang 99]

Nghiệm nguyên dương:
$a)2(x+y+z)=x(yz-1)$

$b)x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=20$

[Ha Manh Huu]

tìm số dư của $2^{1000000}:3^{10}$

[Trang Luong]

Nghiệm nguyên dương:
$a)2(x+y+z)=x(yz-1)$

$b)x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=20$

 

b. Vì $x,y,z>0$ $\Rightarrow x^2,y^2,z^2,xyz<20$. Giả sử $x\geq y\geq z>0$

Nếu $x=4\Rightarrow y^2+z^2+4yz=4$ (L)

Nếu $x=3\Rightarrow y^2+z^2+3yz=11$

Nếu $y=3\Rightarrow z^2+9z=2(L)$

Nếu $y=2\Rightarrow z^2+6z=7\Rightarrow z=1$

Nếu $y=1\Rightarrow z=1(L)$

Nếu $x=2\Rightarrow y^2+z^2+2yz=16\Rightarrow (y+z)^2=16\Rightarrow y+z=4\Rightarrow y=z=4$

Nếu $x=1\Rightarrow y=z=1(L)$

[backieuphong]

Tìm số nguyên n để n⁴+n³+n²+n+1 là số chính phương

[Trang Luong]

Tìm số nguyên n để n⁴+n³+n²+n+1 là số chính phương

Ta có : $A=n^4+n^3+n^2+n+1$

$\Rightarrow 4A=4n^4+4n^3+4n^2+4n+4$

vì $ 4n^4+4n^3+4n^2+4n+4> 4n^4+n^2+2n^3=(2n^2+n)^2$ và $4n^4+4n^3+4n^2+4n+4< 4n^4+5n^2+4n^3+4n+4=(2n^2+n+2)^2$

$\Rightarrow 4n^4+4n^3+4n^2+4n+4=(2n^2+n+1)^2\Rightarrow n=3$

[Trang Luong]

Bài 203. GPT nghiệm nguyên: $x^3+5x+2=y^2$

Mod. Đề nghị từ bây giờ bài toán phải ghi số thứ tự.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 18-11-2013 - 12:00

[backieuphong]

Ta có : $A=n^4+n^3+n^2+n+1$

$\Rightarrow 4A=4n^4+4n^3+4n^2+4n+4$

vì $ 4n^4+4n^3+4n^2+4n+4> 4n^4+n^2+2n^3=(2n^2+n)^2$ và $4n^4+4n^3+4n^2+4n+4< 4n^4+5n^2+4n^3+4n+4=(2n^2+n+2)^2$

$\Rightarrow 4n^4+4n^3+4n^2+4n+4=(2n^2+n+1)^2\Rightarrow n=3$

n=0 hoặc n=-1 cũng chính phương

[Trang Luong]

Bài 204. Tìm các số tự nhiên $x,y\left ( 0< x< 9;1< y< 10 \right )$ thỏa mãn : $\overline{xxyy}=\overline{(x+1)(x+1)}.\overline{(y-1)(y-1)}$

[Rias Gremory]

Bài 204. Tìm các số tự nhiên $x,y\left ( 0< x< 9;1< y< 10 \right )$ thỏa mãn : $\overline{xxyy}=\overline{(x+1)(x+1)}.\overline{(y-1)(y-1)}$

Phương trình đã cho tương đương 

$11.\overline{x0y}=11(x+1).11(y-1)$

$\Leftrightarrow 100x+y=11(x+1)(y-1)$

$\Leftrightarrow x=\frac{10y-11}{111-11y}$

Thử y từ $2$ đến $9$ chỉ nhận đượng $y=8$ để $x$ nguyên khi đó $x=3$

[Cao thu]

Bài 205: Cho a,b là các số nguyên dương phân biệt thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+3 \vdots ab.Chứng minh  \frac{a^{2}+b^{2}+3}{ab}=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao thu: 18-11-2013 - 22:25

[Trang Luong]

Bài 206. Cho $x,y$ là các số hữu tỷ. sao cho $x+y,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số tự nhiên. Tìm $x,y$

[Zaraki]

Bài 203. GPT nghiệm nguyên: $x^3+5x+2=y^2 \qquad (1)$

Mod. Đề nghị từ bây giờ bài toán phải ghi số thứ tự.

Lời giải. Đặt $y=x^3+k$ với $k \in \mathbb{Z}$. Khi đó $$\begin{aligned} (1) & \Leftrightarrow x^6+2x^3k+k^2=x^3+5x+2 \\ & \Leftrightarrow (2x^3+2k-1)^2=20x+3-4k \end{aligned}$$

Nhận thấy $20x+3-4k \equiv 3 \pmod{4}$ nên không thể là số chính phương.

Do đó phương trình $(1)$ không có  nghiệm nguyên.

[bachhammer]

Bài 206. Cho $x,y$ là các số hữu tỷ. sao cho $x+y,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số tự nhiên. Tìm $x,y$

Đặt $x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d};((a,b)=1;(c,d)=1;a,b,c,d\in\mathbb{Z})$ thì$x+y=\frac{ad+bc}{bd}\Rightarrow b\vdots d,d\vdots b\Rightarrow b=d$. Tương tự từ 1/x +1/y là số tự nhiên ta suy ra a = c. Thay vào ta được $2\frac{a}{b},2\frac{b}{a}\in\mathbb{N}\Rightarrow x=1,y=1$. Thử lại thấy thỏa mãn....Giải như vậy chắc là đúng rồi nhỉ...    

[bachhammer]

Mình nhầm một tí, còn cặp (2;2) và (1/2;1/2) nữa!!!!    

[Juliel]

Bài 206. Cho $x,y$ là các số hữu tỷ. sao cho $x+y,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số tự nhiên. Tìm $x,y$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=A\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=B \end{matrix}\right.(A,B\in \mathbb{N})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=A & & \\ xy=\dfrac{A}{B}& & \end{matrix}\right.$

Vậy thì $x,y$ là nghiệm của $Bt^{2}-ABt+A=0$, phương trình này phải có 2 nghiệm hữu tỉ, nên biệt thức delta phải là một số chính phương. $\Delta =A^{2}B^{2}-4AB$. Rõ ràng $(AB-3)^2 <\Delta <(AB-2)^2$ với $AB>\frac{9}{2}$ nên trường hợp này không tồn tại $x,y$ thỏa đề. Do đó $AB\in \left \{ 0,1,2,3,4 \right \}$.

[Cao thu]

Bài 207: Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình $(x+y)^{2}=k(1+4xy)$có nghiệm nguyên dương x,y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao thu: 24-11-2013 - 22:22

[phatthemkem]

Bài 208: Giải hệ phương trình nghiệm hữu tỉ

$$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=2\\ x+y+z-xyz=2 \end{matrix}\right.$$

(Off lâu quá nên giờ thua mấy bác hết, thua toàn tập luôn )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 26-11-2013 - 20:28

[Cao thu]

Bài 205: Cho a,b là các số nguyên dương phân biệt thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+3 \vdots ab.Chứng minh  \frac{a^{2}+b^{2}+3}{ab}=4$

 

Để mình giải vậy :

Từ kết luận của bài toán ta nghĩ đến việc xét phương trình bậc hai $a^{2}+b^{2}+3=kab$. Bài toán được giải quyết khi ta chứng minh được k=4. Với giả thiết của bài toán ta có k là số nguyên dương. Trong tất cả các nghiệm (a,b) thoả mãn bài toán, gọi ($a_{0},b_{0}$) là nghiệm sao cho $a_{0}+b_{0}$ nhỏ nhất và $a_{0}>b_{0}$. 

Xét phương trình bậc hai $a^{2}-kab_{0}+b_{0}^{2}+3=0$ có hai nghiệm a1,b1 thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix} a_{0}+a_{0}=kb_{0} & \\ a_{0}a_{1}=b_{0}^{2}+3& \end{matrix}\right.$

Do đó ($a_{1},b_{0}$) cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. Điều này dẫn đến 

$a_{1}\geq a_{0}\Rightarrow (a_{0}-1)(a_{1}-1)\geq b_{0}^{2}\Rightarrow b_{0}^{2}-kb_{0}+4\geq b_{0}^{2}\Rightarrow kb_{0}\leq 4\Rightarrow k\leq 4.$

Mặt khác từ $k=\frac{a^{2}+b^{2}+3}{ab}> 2$ nên k=3 hoặc k=4. 

Với k=3 thì pt có biệt thức denta=$5b_{0}-12$ chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương.

K=4 thỏa mãn. Vậy k=4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao thu: 26-11-2013 - 22:12

[4869msnssk]

CMR với các số nguyên lẻ  a,b,c tuỳ ý phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ không có nghiệm hữu tỷ

[phatthemkem]

CMR với các số nguyên lẻ  a,b,c tuỳ ý phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ không có nghiệm hữu tỷ

Giả sử pt đã cho có nghiệm hữu tỉ với $a,b,c$ là các số nguyên lẻ $\Rightarrow \Delta$ là một số chính phương lẻ $\Rightarrow \Delta \equiv 1\left ( mod8 \right )$. Vì $a,b,c$ lẻ nên $b^2 \equiv 1\left ( mod8 \right )$, $ac\equiv 1\left ( mod8 \right )\Rightarrow 4ac\equiv 4\left ( mod8 \right )$

Như vậy: $\Delta =b^2-4ac\equiv 1-4\equiv 5\left ( mod 8 \right )$ (Mâu thuẫn)

Vậy ta có đpcm