Chủ đề này có 4 trả lời

[phuongnamz10A2]

Cho $a,b,c$ thuộc $[0;2]$. và $a+b+c=3$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2\leq 5$
--------
Chú ý $\LaTeX$ ở tiêu đề bạn nhé :"P

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 09-03-2013 - 16:43

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ thuộc $[0;2]$. và $a+b+c=3$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2\leq 5$
--------
Chú ý $\LaTeX$ ở tiêu đề bạn nhé :"P

Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $2 \geq a \geq b \geq c \geq 0$
Đặt $\left\{\begin{matrix}
a=1+x\\c=1-y

\end{matrix}\right.\Rightarrow b=1+y-x$
Do $0 \leq a,c \leq 2\Rightarrow x,y \in \begin{bmatrix}
0,1
\end{bmatrix}$
BĐT đã cho trở thành $(1+x)^2+(1-y)^2+(1+y-x)^2 \leq 5$
$\Leftrightarrow 3+x^2+y^2+(y-x)^2+2(x+y)+2(y-x) \leq 5$
$\Leftrightarrow x^2+y^2-xy \leq 1$
Do $x,y \in \left [ 0,1 \right ]\Rightarrow x^2+y^2 \leq x+y$
Mà $(1-x)(1-y) \geq 0 \Rightarrow 1+xy \geq x+y \geq x^2+y^2$
Suy ra đpcm
Dấu = xảy ra khi $x=1,y=1$ $\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị của bộ số này

[WhjteShadow]

Cho $a,b,c$ thuộc $[0;2]$. và $a+b+c=3$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2\leq 5$
--------
Chú ý $\LaTeX$ ở tiêu đề bạn nhé :"P

Cách 1:
Ta có $abc\geq 0$ và $(2-a)(2-b)(2-c)\geq 0$. Cộng lại thì:
$$8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)\geq 0$$
$$\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 2 \,\, (\text{Do a+b+c=3})$$
Vậy nên:
$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\leq 5$$
Cách 2:
Không mất tính tổng quát giả sử $a=Max\{a;b;c\}$ có $a\in [1;2]$.
$$b^2+c^2\leq (b+c)^2=(3-a)^2$$
Ta chỉ cần chứng minh:
$$(3-a)^2+a^2\leq 5$$
$$\Leftrightarrow (2-a)(1-a)\leq 0$$
Luôn đúng đẳng thức xảy ra tại bộ số $(2;1;0)$ và hoán vị.
Bài toán tương tự:
Cho $a,b,c$ thuộc $[0;2]$. và $a+b+c=3$. Chứng minh $a^3+b^3+c^3\leq 9$
Tổng quát

Cho $a,b,c$ thuộc $[0;2k]$. và $a+b+c=3k$. Chứng minh $a^n+b^n+c^n\leq (2k)^n+k^n$
Đã được chứng minh bằng $Abel$ trong chuyên đề mình viết

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c$ thuộc $[0;2]$. và $a+b+c=3$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2\leq 5$
--------
Chú ý $\LaTeX$ ở tiêu đề bạn nhé :"P

Vì $a,b,c$ thuộc $[0;2]$ nên ta có

$abc+(2-a)(2-b)(2-c)\ge0$ (1)

Khai triển và thay $a+b+c=3$ vào:

$(1)\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\ge4$\

Do đó

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)\le 9-4=5$ (dpcm)

Dấu = xảy ra khi 1 trong có 1 số =0,=2 và =1

[nthoangcute]

Cho $a,b,c$ thuộc $[0;2]$. và $a+b+c=3$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2\leq 5$

Cách nữa:
$c$ nằm giữa $a$ và $b$
Suy ra $1 \leq a+b \leq 3$
Xét $$P=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(3-a-b)^2=2a^2+2b^2-6a-6b+2ab+9$$
$P''_a=P''_b=4>0$ nên theo phương pháp đưa về cực biên thì
$$P(a,b)_{\max}=\max\{P(0,2),P(2,0)\}=5$$
Suy ra OK

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 11-03-2013 - 20:18