====================
Bài toán 29: Cho dãy số $\{a_n \}$ thỏa $ a_1 = 1, a_{2n}= a_n+1, a_{2n+1}=\frac{1}{a_{2n}} $.Chứng minh rằng tất cả các số hữu tỷ đều là số hạng của dãy này.
-68-
Theo em đề nên là các số hữu tỷ dương vì {$a_{n}$} là dãy dương.
=============================
Ta chứng minh bằng quy nạp
Gọi $S(m)$ là mệnh đề $\forall p=\frac{r}{s}, gcd(r,s)=1, r < m, s < m$ , $\exists n$ sao cho $a_{n}=p$.
Với $m=1$ thì $p=1=a_{1}$, mệnh đề $S(1)$ đúng.
Giả sử mệnh đề đúng tới $m-1$. Ta chứng minh $S(m)$ đúng. Chỉ cần xét $p\neq 1$.
$\bullet$ TH1: $p= \frac {m} {s}$ với $s < m$
Ta có $m-s < m, s < m$ nên theo giả thiết quy nạp tồn tại $n$ sao cho $p-1= \frac {m-s} {s} = a_{n} \Rightarrow p=a_{n}+1=a_{2n} $.
$\bullet$ TH2: $p= \frac {s} {m}$ với $s < m$
Ta có $\frac {1-p} {p} = \frac {m-s} {s}$ nên theo giả thiết quy nạp tồn tại $n$ sao cho $\frac {1-p} {p} = a_{n} \Rightarrow \frac {1} {p} =a_{n}+1=a_{2n} \Rightarrow p=a_{2n+1}$.
Mệnh đề được chứng minh. Từ đây dễ dàng suy ra kết quả bài toán $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 13-06-2013 - 21:37