Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

$f(x^3+2y)+f(x+y)=g(x+2y)$

[perfectstrong]

Lời giải:
\[
f\left( {x^3 + 2y} \right) + f\left( {x + y} \right) = g\left( {x + 2y} \right),\forall x,y \in R,\left( 1 \right)
\]
Nếu thay $f,g$ bởi $f+c;g+2c$ thì (1) không đổi. Cho nên, ta giả sử rằng $f(0)=0$.
Trong (1), thay $y$ bởi $0$, ta có: \[
g\left( x \right) = f\left( {x^3 } \right) + f\left( x \right)
\]
Viết lại (1):\[
f\left( {x^3 + 2y} \right) + f\left( {x + y} \right) = f\left( {\left( {x + 2y} \right)^3 } \right) + f\left( {x + 2y} \right),\forall x,y \in R,\left( 2 \right)
\]
Thay $x$ bởi $1$ trong (2), ta có\[
f\left( {y + 1} \right) = f\left( {\left( {2y + 1} \right)^3 } \right),\forall y \in R
\]
Tiếp tục thay $y$ bởi $y-\dfrac{1}{2}$, ta được:\[
f\left( {y + \frac{1}{2}} \right) = f\left( {\left( {2y} \right)^3 } \right),\forall y \in R
\]
Mặt khác, thay $x$ bởi $0$ trong (2) thì ta lại có:\[
f\left( y \right) = f\left( {\left( {2y} \right)^3 } \right),\forall y \in R \Rightarrow f\left( y \right) = f\left( {y + \frac{1}{2}} \right),\forall y \in R,\left( 3 \right)
\]
Thay $y$ bởi $-x$ trong (2) thì ta được:\[
f\left( {x^3 - 2x} \right) = f\left( { - x^3 } \right) + f\left( { - x} \right),\forall x \in R
\]
Tiếp tục thay $x$ bởi $-x$ thì ta có\[
f\left( {2x - x^3 } \right) = f\left( {x^3 } \right) + f\left( x \right),\forall x \in R
\]
Do đó, (2) trở thành:\[
f\left( {x^3 + 2y} \right) + f\left( {x + y} \right) = f\left( {2\left( {x + 2y} \right) - \left( {x + 2y} \right)^3 } \right),\forall x,y \in R
\]
Tiếp tục thay $y$ bởi $y-x$, ta có:\[
f\left( {x^3 + 2y - 2x} \right) + f\left( y \right) = f\left( {2\left( {2y - x} \right) - \left( {2y - x} \right)^3 } \right),\forall x,y \in R,\left( 4 \right)
\]
Xét phương trình:
\[
\begin{array}{l}
x^3 + 2y - 2x = 2\left( {y - x} \right) - \left( {y - x} \right)^3 \\
\Leftrightarrow 6yx^2 - 12xy^2 + 8y^3 - 2y = 0 \\
\end{array}
\]
$\Delta_x=3(1-y^2)$ nên ta chọn $y_0$ bất kì trong $[-1;1]$ và chọn $x_0=\dfrac{3y-\sqrt{3(1-y_0^2)}}{3}$ thì khi đó $x_0^3 + 2y_0 - 2x_0 = 2\left( {2y_0 - x_0 } \right) - \left( {2y_0 - x_0 } \right)^3$.
Thay $(x;y)$ bởi $(x_0;y_0)$ vào (4) thì ta có $$f(y_0)=0 \Rightarrow f(y) = 0\,\forall y \in [-1;1]$$
Mặt khác, do (3) nên ta suy ra $f(y) = 0 \forall y \in R$. Do vậy $g(x)=0\forall x \in R$.
Thử lại:
Kết luận: $f \equiv c;\,\,g \equiv 2c$ với $c$ là một hằng số thực.