Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:
$f(xy)=f(x).f(y)$.
Chứng minh rằng $f(x)\equiv 0$ hoặc $f(x)=x^a$
#1
Đã gửi 23-03-2013 - 18:46
namcpnh
-
- Hiệp sỹ
-
- 1153 Bài viết
Red Devil
- phanquockhanh yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 24-03-2013 - 11:17
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5005 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:
$f(xy)=f(x).f(y)$.
Chứng minh rằng $f(x)\equiv 0$ hoặc $f(x)=x^a$
Phải có giả thiết liên tục thì mới giải được chứ.Nếu liên tục thì lời giải có trong sách "Một số vấn đề giải tích bồi dưỡng HSG THPT" của thầy Nguyễn Văn Mậu hoặc sách "Một số bài toán phương trình hàm trong Olympic" của Nguyễn Trọng Tuấn 
- namcpnh, ducthinh26032011 và nguyenthehoan thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 24-03-2013 - 19:19
namcpnh
-
- Hiệp sỹ
-
- 1153 Bài viết
Red Devil
Phải có giả thiết liên tục thì mới giải được chứ.Nếu liên tục thì lời giải có trong sách "Một số vấn đề giải tích bồi dưỡng HSG THPT" của thầy Nguyễn Văn Mậu hoặc sách "Một số bài toán phương trình hàm trong Olympic" của Nguyễn Trọng Tuấn
Đúng vậy, đề thiếu dữ kiện liên tục. Hân có thể trình bày cách CM luôn không? Mình ngán tìm quá
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#4
Đã gửi 24-03-2013 - 23:36
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5005 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Mà khổ nỗi. Chỉ có thể chứng minh trong $\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ thôi
Nếu thế thì ta đặt $g(x)=\ln f(x)$. Viết lại giả thiết là $g(xy)=g(x)+g(y)\,\forall x,y \in \mathbb{R}^+$.
Tiếp tục đặt $h(x)=g(e^x)$ thì $h(x+y)=h(x)+h(y)\,\forall x,y \in \mathbb{R}^+$.
$h$ liên tục trên $\mathbb{R}^+$ nên theo pt hàm Cauchy, $h(x)=ax$ với $a$ là hằng số thực.
$\Rightarrow g(x)=\ln x^{\alpha} $ với $\alpha$ là hằng số thực. Suy ra $f(x)=x^{\alpha}$
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Bắt đầu bởi Explorer, 07-08-2022  pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Bắt đầu bởi poset, 18-05-2021 pth
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Bắt đầu bởi namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
