Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leqslant \sqrt{6}$ (sử dụng BĐT Cauchy)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eatchuoi19999: 30-03-2013 - 18:54
Chứng minh: $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geqslant \sqrt{6}$
Bắt đầu bởi eatchuoi19999, 30-03-2013 - 16:32
bất đẳng thức và cực trị
#2
Đã gửi 30-03-2013 - 17:38
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Đề đúng nên là $\sqrt{a+b}+ \sqrt{b+c}+ \sqrt{c+a} \le 6$.
Đến đây thì áp dụng AM-GM cho $\sqrt{ \frac 23 (a+b)} \le \frac 13 + \frac{a+b}{2}$.
- BlackSelena và eatchuoi19999 thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 30-03-2013 - 17:46
vnmath98
-
- Thành viên
-
- 96 Bài viết
Hạ sĩ
Nếu đề thế thì quá đễ
Cauchy-schwarz
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{2(a+b+c)(1+1+1)}\doteq \sqrt{6}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vnmath98: 30-03-2013 - 17:47
#4
Đã gửi 30-03-2013 - 18:53
eatchuoi19999
-
- Thành viên
-
- 320 Bài viết
Sĩ quan
Nếu đề thế thì quá đễ
Cauchy-schwarz
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{2(a+b+c)(1+1+1)}\doteq \sqrt{6}$
Đây là Bunhia mà bạn, chỉ sử dụng AM-GM thôi!
#5
Đã gửi 30-03-2013 - 19:00
vnmath98
-
- Thành viên
-
- 96 Bài viết
Hạ sĩ
Đây là Bunhia mà bạn, chỉ sử dụng AM-GM thôi!
Bunhia cũng gọi là cauchy-schwarz mà.
#6
Đã gửi 30-03-2013 - 19:13
eatchuoi19999
-
- Thành viên
-
- 320 Bài viết
Sĩ quan
Đề đúng nên là $\sqrt{a+b}+ \sqrt{b+c}+ \sqrt{c+a} \le 6$.
Đến đây thì áp dụng AM-GM cho $\sqrt{ \frac 23 (a+b)} \le \frac 13 + \frac{a+b}{2}$.
Bạn giải thích rõ hơn đi, tại sao có BĐT như thế?
#7
Đã gửi 30-03-2013 - 19:15
eatchuoi19999
-
- Thành viên
-
- 320 Bài viết
Sĩ quan
Bunhia cũng gọi là cauchy-schwarz mà.
cauchy-schwarz: Bạn ko thấy vế đằng sau à, ý mình là chỉ dùng cauchy thôi cơ mà.
#8
Đã gửi 30-03-2013 - 21:46
vnmath98
-
- Thành viên
-
- 96 Bài viết
Hạ sĩ
#9
Đã gửi 31-03-2013 - 14:56
myduyen9a
-
- Thành viên
-
- 8 Bài viết
Lính mới
$A^{2}=(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{2}\leq (1^{2}+1^{2}+1^{2}).(2a+2b+2c) \Rightarrow A^{2}\leq 6.(a+b+c)\Rightarrow A\leq \sqrt{6}$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
