Chủ đề này có 3 trả lời

[namcpnh]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :

 

$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y),\forall x,y \in \mathbb{R}$

[Idie9xx]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :

 

$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y),\forall x,y \in \mathbb{R}$

Cho $y=0$ có $f(x)=f(f(x))+xf(0)$

Cho $x=0$ có $f(yf(0))=f(f(0))$

Giả sử $f(0) \neq 0$ do $y$ bất kì nên $f$ là hàm hằng thử thấy $f(x)=0$ (mâu thuẫn )

Với $f(0)=0 \Rightarrow f(f(x))=f(x)$

Cho $x=f(t),y=-1$ có $f(f(t)-f(f(t)))=f(f(f(t)))+f(t)f(-1)$

$\Rightarrow f(0)=f(t)+f(t)f(-1) \Rightarrow f(t)=0$ hoặc $ f(-1)=-1$

Với $f(-1)=-1$ thay $x=-1$ có $f(-1-y)=-1-f(y)$

Đặt $f(x)=g(x)+x$ có $g(-1-y)=g(y)=const$

Vậy các hàm thỏa là $f(x)=0$ hoặc  $f(x)=x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 31-03-2013 - 12:19

[perfectstrong]

Vậy các hàm thỏa là $f(x)=0 \cup f(x)=x$

Theo mình biết thì, đừng bao giờ dùng kí hiệu $\cup$ giữa các mệnh đề. $\cup$ là hợp của 2 tập hợp, không phải hợp của 2 mệnh đề.

Tốt nhất nên viết ra chữ "hoặc".

[namcpnh]

Với $f(-1)=-1$ thay $x=-1$ có $f(-1-y)=-1-f(y)$ (1)

Đặt $f(x)=g(x)+x$ có $g(-1-y)=g(y)=const$ (2)

 

 

Phần này hình như có vấn đề.

 

(2)<=>$g(-1-y)=g(y)$

 

<=>$f(-1-x)+x+1=f(x)-x$ khác (1)