Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :
$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y),\forall x,y \in \mathbb{R}$
Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :
$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y),\forall x,y \in \mathbb{R}$
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :
$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y),\forall x,y \in \mathbb{R}$
Cho $y=0$ có $f(x)=f(f(x))+xf(0)$
Cho $x=0$ có $f(yf(0))=f(f(0))$
Giả sử $f(0) \neq 0$ do $y$ bất kì nên $f$ là hàm hằng thử thấy $f(x)=0$ (mâu thuẫn )
Với $f(0)=0 \Rightarrow f(f(x))=f(x)$
Cho $x=f(t),y=-1$ có $f(f(t)-f(f(t)))=f(f(f(t)))+f(t)f(-1)$
$\Rightarrow f(0)=f(t)+f(t)f(-1) \Rightarrow f(t)=0$ hoặc $ f(-1)=-1$
Với $f(-1)=-1$ thay $x=-1$ có $f(-1-y)=-1-f(y)$
Đặt $f(x)=g(x)+x$ có $g(-1-y)=g(y)=const$
Vậy các hàm thỏa là $f(x)=0$ hoặc $f(x)=x$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 31-03-2013 - 12:19
Vậy các hàm thỏa là $f(x)=0 \cup f(x)=x$
Theo mình biết thì, đừng bao giờ dùng kí hiệu $\cup$ giữa các mệnh đề. $\cup$ là hợp của 2 tập hợp, không phải hợp của 2 mệnh đề.
Tốt nhất nên viết ra chữ "hoặc".
Với $f(-1)=-1$ thay $x=-1$ có $f(-1-y)=-1-f(y)$ (1)
Đặt $f(x)=g(x)+x$ có $g(-1-y)=g(y)=const$ (2)
Phần này hình như có vấn đề.
(2)<=>$g(-1-y)=g(y)$
<=>$f(-1-x)+x+1=f(x)-x$ khác (1)
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Bắt đầu bởi Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Bắt đầu bởi poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Bắt đầu bởi namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh