Cho$a,b,c> 0$,$a,b,c> 0,abc= 1. CMR: \sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-03-2013 - 17:16
Cho$a,b,c> 0$,$a,b,c> 0,abc= 1. CMR: \sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-03-2013 - 17:16
cho$a,b,c> 0$,$a,b,c> 0,abc= 1. CMR: \sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 31-03-2013 - 15:12
Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.
$$\sum \dfrac{1}{a^2+2b^2+3} \le \dfrac{1}{2(ab+b+1)}=\dfrac{1}{2}$$
tại sao lại như vậy
Chuyên Vĩnh Phúc
tại sao lại như vậy
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2 \geq 2ab+2b+2=2(ab+b+1)$
$\Rightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3} \leq \frac{1}{2(ab+b+1)}$
Sử dụng bổ đề sau : Với $abc=1$ thì $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}=1$
Chứng minh :
Do $abc=1$ $\Rightarrow ab(bc+c+1)=ab+b+1\Rightarrow \frac{1}{bc+c+1}=\frac{ab}{ab+b+1}$
Lại có $\Rightarrow b(ca+a+1)=ab+b+1\Rightarrow \frac{1}{ac+a+1}=\frac{b}{ab+b+1}$
$\Rightarrow \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1$
Vậy ta có đpcm
bạn tìm được MIN không mà chủ đề của mình là tìm min thế mà mình bị khóa topic
Chuyên Vĩnh Phúc
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh