Chủ đề này có 3 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $x,y> 0$ thỏa mãn $xy\geqslant 2$. Chứng minh:

$(x-2)^{2}+(y+2)^{2}\geqslant 8$

[25 minutes]

Cho $x,y> 0$ thỏa mãn $xy\geqslant 2$. Chứng minh:

$(x-2)^{2}+(y+2)^{2}\geqslant 8$

BĐT đã cho tương đương với $x^2-4x+y^2+4y \geq 0$

Do $xy \geq 2$ $\Rightarrow y\geq \frac{2}{x}$

                $\Rightarrow x^2-4x+y^2+4y\geq x^2-4x+\frac{4}{x^2}+\frac{8}{x}=\frac{x^4-4x^3+8x+4}{x^2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $x^4-4x^3+8x+4 \geq 0$

Đặt $y=x^4-4x^3+8x+4 $

Lập bảng xét dấu ta thấy $y_{min}=y(1+\sqrt{3})=1^{-10}> 0$

Vậy ta luôn có $(x-2)^2+(y+2)^2 \geq 8$

Đẳng thức không xảy ra

[eatchuoi19999]

BĐT đã cho tương đương với $x^2-4x+y^2+4y \geq 0$

Do $xy \geq 2$ $\Rightarrow y\geq \frac{2}{x}$

                $\Rightarrow x^2-4x+y^2+4y\geq x^2-4x+\frac{4}{x^2}+\frac{8}{x}=\frac{x^4-4x^3+8x+4}{x^2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $x^4-4x^3+8x+4 \geq 0$

Đặt $y=x^4-4x^3+8x+4 $

Lập bảng xét dấu ta thấy $y_{min}=y(1+\sqrt{3})=1^{-10}> 0$

Vậy ta luôn có $(x-2)^2+(y+2)^2 \geq 8$

Đẳng thức không xảy ra

Mình không hiểu đoạn màu đỏ. Bạn đang giải theo cách lớp mấy vậy?

[babystudymaths]

Mình không hiểu đoạn màu đỏ. Bạn đang giải theo cách lớp mấy vậy?

Không rõ cách của mình có giúp bạn hiể hơn hay k vì nó k hay cho lắm, có gì sai sót mong bạn góp ý

Ta cần chứng minh $x^{4}-4x^{3}+8x+4\geq 0\Leftrightarrow (x^{2}-2x)^{2}+8\geq 4(x-1)^{2}$, mà ta lại có $(x^{2}-2x)^{2}+8= ((x^{2}-2x)^{2}+4)+4\geq 4(x^{2}-2x)+4= 4(x-1)^{2}\Rightarrow \blacksquare$