10 replies to this topic

[namcpnh]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

$f(2f(x))=f(x)+x$

[ducthinh26032011]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

$f(2f(x))=f(x)+x$

Bài căng quá a à,e mới chứng minh được $f(0)=0$ là toát mồ hôi hột rồi.Rồi sau đó thì bịt hướng luôn.Em nói thử cách làm của e nhé.

Đặt: $f(0)=a,g(x)=f(x)-x(1)$

Ta có:$f(2f(x))=f(x)+x=g(x)+2x$

Thay $x=0$,ta được:$f(2a)=g(0)=f(0)=a$

Thay $x=2f(x)$ vào $(1)$ ,ta được:$g(2f(x))=x-f(x)=-g(x)(2)$

Thay $x=0$ vào $(2)$ ,ta được:$g(2a)=-a$

Thay $x=2a$ vào $(2)$ ,ta được:$g(2a)=-g(2a) \Leftrightarrow a=0$

Vậy $f(0)=g(0)=0$.

Dự đoán là $f(x)=x$ nên em cố gắng đi chứng minh $g(x)=0$ nhưng k còn hướng TT.TT

Edited by namcpnh, 16-04-2013 - 16:48.

[Idie9xx]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

$f(2f(x))=f(x)+x$

Dạng hàm này có lẽ là rất mới chưa thấy bao giờ

 

Bài căng quá a à,e mới chứng minh được $f(0)=0$ là toát mồ hôi hột rồi.Rồi sau đó thì bịt hướng luôn.Em nói thử cách làm của e nhé.

Đặt: $f(0)=a,g(x)=f(x)-x(1)$

Ta có:$f(2f(x))=f(x)+x=g(x)+2x$

Thay $x=0$,ta được:$f(2a)=g(0)=f(0)=a$

Thay $x=2f(x)$ vào $(1)$ ,ta được:$g(2f(x))=x-f(x)=-g(x)(2)$

Thay $x=0$ vào $(2)$ ,ta được:$g(2a)=-a$

Thay $x=2a$ vào $(2)$ ,ta được:$g(2a)=-g(2a) \Leftrightarrow a=0$

Vậy $f(0)=g(0)=0$.

Dự đoán là $f(x)=x$ nên em cố gắng đi chứng minh $g(x)=0$ nhưng k còn hướng TT.TT

Xét $f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$

Cho $x=0$ được $f(2f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$

Chứng minh $g(x)=0$ thì hơi khó

Mình tính đặt $g(x)=2f(x)$ hoặc $g(x)=f(2x)$ thì đều có $g(g(x))=g(x)+2x$ nhưng dùng dãy với cái này hơi khó   mọi người nêu thêm ý kiến để xử đẹp bài này

[ducthinh26032011]

Dạng hàm này có lẽ là rất mới chưa thấy bao giờ

 

Xét $f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$

Cho $x=0$ được $f(2f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$

Chứng minh $g(x)=0$ thì hơi khó

Mình tính đặt $g(x)=2f(x)$ hoặc $g(x)=f(2x)$ thì đều có $g(g(x))=g(x)+2x$ nhưng dùng dãy với cái này hơi khó   mọi người nêu thêm ý kiến để xử đẹp bài này

Ủ,làm sao biết $f(x)$ là đơn ánh vậy anh.Giải thích hộ em với

[Idie9xx]

Ủ,làm sao biết $f(x)$ là đơn ánh vậy anh.Giải thích hộ em với

$f(x)=f(y)$ thì $2f(x)=2f(y)$ nên $f(2f(x))=f(2f(y))$ mà $x=f(2f(x))-f(x)$ từ đó suy ra $x=y$

[Idie9xx]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

$f(2f(x))=f(x)+x$

Đây là lời giải mà namcpnh nhờ mình đăng giùm ( cuối tuần bạn ý bận không onl được

Sau khi chứng minh được $f(0)=0$ và $f$ đơn ánh như mình và ducthinh26032011 làm.

Ta nhận xét thấy tập giá trị và tập xác định của hàm giống nhau và tính đơn ánh nên $f$ có tối đa 1 họ nghiệm.

Thử với họ nghiệm $f(x)=ax$ ( thỏa $f(0)=0$ )

Thay vào tìm được $a=1$

Vậy hàm cần tìm là $f(x)=x$

Edited by Idie9xx, 21-04-2013 - 17:03.

[perfectstrong]

Đây là lời giải mà namcpnh nhờ mình đăng giùm ( cuối tuần bạn ý bận không onl được

Ta nhận xét thấy tập giá trị và tập xác định của hàm giống nhau và tính đơn ánh nên $f$ có tối đa 1 họ nghiệm.

Cái này chứng minh thế nào vậy "Tối đa 1 họ nghiệm"

[ntuan5]

Mình làm thế này không biết đúng không, Đặt $g(x)=2f(x) \rightarrow g(g(x))=g(x)+2x \rightarrow g_{n}(x)=(-1)^{n}c_{1}+2^{n}c_{2} \rightarrow g(x)=2x-3c_{1}$.

Thử lại : $g(g(x))=2g(x)-3c_1=g(x)+2x \rightarrow c_{1}=0$. Nên $g(x)=2x$.

Edited by ntuan5, 21-04-2013 - 22:06.

[perfectstrong]

$g_{n}(x)=(-1)^{n}c_{1}+2^{n}c_{2} \rightarrow g(x)=2x-3c_{1}$.

Chỗ này không thể suy thẳng ra vậy được đâu. Bạn xem lại đi.

[ntuan5]

Mờ nếu chọn: $n=0;1 \rightarrow x=c_{1}+c_{2}; g(x)=2c_{2}-c_{1}$

[namcpnh]

Mình làm thế này không biết đúng không, Đặt $g(x)=2f(x) \rightarrow g(g(x))=g(x)+2x \rightarrow g_{n}(x)=(-1)^{n}c_{1}+2^{n}c_{2} \rightarrow g(x)=2x-3c_{1}$.

Thử lại : $g(g(x))=2g(x)-3c_1=g(x)+2x \rightarrow c_{1}=0$. Nên $g(x)=2x$.

 

Đề cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ mà, sao làm thế này được.

 

 

 

Cái này chứng minh thế nào vậy "Tối đa 1 họ nghiệm"

 

Mình nghe thầy bồi dưỡng nói là có thể, nhưng chưa hỏi cách chứng minh, để hôm nào hỏi thử rồi đăng lên.