Chủ đề này có 3 trả lời

[namcpnh]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^2+f(y))=(f(x))^2+y$

[Idie9xx]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^2+f(y))=(f(x))^2+y$

Giả sử $P(x;y)$ có tính chất $f(x^2+f(y))=(f(x))^2+y$

$P(0;x) \Rightarrow f(f(x))=x+(f(0))^2$ vậy $f$ song ánh.

Nhận xét giữa $P(x;y)$ và $P(-x;y)$ thấy $(f(x))^2=(f(-x))^2 \Rightarrow f(-x)=-f(x)$ (do song ánh).

Cho $f(0)=a$ vậy tồn tại $f(z)=-a \Rightarrow f(z)=-f(0) \Rightarrow z=0$

$\Rightarrow a=-a=0 \Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow f(f(x))=x$

$P(x;0) \Rightarrow f(x^2)=(f(x))^2$ vậy $t>0 \Rightarrow f(t)>0$

$P(\sqrt{x};f(y)) \Rightarrow f(x+f(f(y))=(f(\sqrt{x}))^2+f(y) \Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$ (cộng tính)

Cho $Q(x;y)$ có tính chất $f(x+y)=f(x)+f(y)$

$Q(x;-y) \Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)$ vậy $x>y \Rightarrow f(x)>f(y)$ (đơn điệu)

$f$ cộng tính và đơn điệu nên $f(x)=ax$ thay vào có $a=1$

Vậy hàm thỏa mãn đề là $f(x)=x$

[Math Is Love]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^2+f(y))=(f(x))^2+y$

 

 

Giả sử $P(x;y)$ có tính chất $f(x^2+f(y))=(f(x))^2+y$

$P(0;x) \Rightarrow f(f(x))=x+(f(0))^2$ vậy $f$ song ánh.

Nhận xét giữa $P(x;y)$ và $P(-x;y)$ thấy $(f(x))^2=(f(-x))^2 \Rightarrow f(-x)=-f(x)$ (do song ánh).

Cho $f(0)=a$ vậy tồn tại $f(z)=-a \Rightarrow f(z)=-f(0) \Rightarrow z=0$

$\Rightarrow a=-a=0 \Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow f(f(x))=x$

$P(x;0) \Rightarrow f(x^2)=(f(x))^2$ vậy $t>0 \Rightarrow f(t)>0$

$P(\sqrt{x};f(y)) \Rightarrow f(x+f(f(y))=(f(\sqrt{x}))^2+f(y) \Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$ (cộng tính)

Cho $Q(x;y)$ có tính chất $f(x+y)=f(x)+f(y)$

$Q(x;-y) \Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)$ vậy $x>y \Rightarrow f(x)>f(y)$ (đơn điệu)

$f$ cộng tính và đơn điệu nên $f(x)=ax$ thay vào có $a=1$

Vậy hàm thỏa mãn đề là $f(x)=x$

Chỗ chứng minh cộng tính của bạn có vấn đề. Theo cách chứng minh của bạn thì $f$ chỉ cộng tính tức:

$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$

khi $x\geq 0$ chứ không phải $x \in R$.

Mình làm như sau:

Cũng như cách trên,ta chỉ ra được:

$$f(0)=0$$

$$f(f(y))=y$$

$$f(x^2)=f^2(x)$$

Thay $y=x$ vào đề bài,ta có:

$f(x^2+f(x))=f^2(x)+x$

$\Leftrightarrow f(f(x^2+f(x)))=f(f^2(x)+x)$

$\Leftrightarrow x^2+f(x)=f(f^2(x)+x)$

Giả sử $x=f(a)$. Thay vào trên và sử dụng đề bài,ta có:

$x^2+f(x)=f(f^2(x)+f(a))=f^2f(x)+a=x^2+a$

Vậy $\Rightarrow a=f(x) \Rightarrow f(x)=x$.Thử lại thấy đúng.

Vậy $f(x)=x$ là hàm số duy nhất thỏa mãn.

___________________

Hic,chỗ cuối nhìn nhầm! @@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 24-05-2013 - 10:05

[Idie9xx]

Chỗ chứng minh cộng tính của bạn có vấn đề. Theo cách chứng minh của bạn thì $f$ chỉ cộng tính tức:

$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$

khi $x\geq 0$ chứ không phải $x \in R$.

Mình làm như sau:

Cũng như cách trên,ta chỉ ra được:

$$f(0)=0$$

$$f(f(y))=y$$

$$f(x^2)=f^2(x)$$

Thay $y=x$ vào đề bài,ta có:

$$ f(x^2+f(x))=f^2(x)+x$$

$$ \Lefrightarrow f(f(x^2+f(x)))=f(f^2(x)+x)$$

$$ \Lefrightarrow x^2+f(x)=f(f^2(x)+x)$$

Giả sử $x=f(a)$. Thay vào trên và sử dụng đề bài,ta có:

$$ x^2+f(x)=f(f^2(x)+f(a))=f^2f(x)+a=x^2+a $$

Vậy $\Rightarrow a=f(x) \Rightarrow f(x)=x$.Thử lại thấy đúng.

Vậy $f(x)=x$ là hàm số duy nhất thỏa mãn.

Không quan trọng lắm $x>0$ vì $f(-x)=-f(x)$ và $f(x+y)=f(x)+f(y)$ có tính đối xứng nên có thể chứng minh cho $x \in \mathbb{R}$

 Với $x>0$ thì $f(x+y)=f(x)+f(y) \Rightarrow -f(x+y)=-f(x)-f(y)$

$\Rightarrow f(-x-y)=f(-x)+f(-y)$ nên cũng đúng cho $x \in \mathbb{R}$

Còn bài của bạn $x=f(a)$ thì $f(x)=a$ là điều hiển nhiên khi $f(f(x))=x$ và không thể chứng minh $f(x)=x$ được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 04-05-2013 - 20:04