Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^2+f(y))=(f(x))^2+y$
#1
Posted 04-05-2013 - 17:33
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Posted 04-05-2013 - 18:57
Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^2+f(y))=(f(x))^2+y$
Giả sử $P(x;y)$ có tính chất $f(x^2+f(y))=(f(x))^2+y$
$P(0;x) \Rightarrow f(f(x))=x+(f(0))^2$ vậy $f$ song ánh.
Nhận xét giữa $P(x;y)$ và $P(-x;y)$ thấy $(f(x))^2=(f(-x))^2 \Rightarrow f(-x)=-f(x)$ (do song ánh).
Cho $f(0)=a$ vậy tồn tại $f(z)=-a \Rightarrow f(z)=-f(0) \Rightarrow z=0$
$\Rightarrow a=-a=0 \Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow f(f(x))=x$
$P(x;0) \Rightarrow f(x^2)=(f(x))^2$ vậy $t>0 \Rightarrow f(t)>0$
$P(\sqrt{x};f(y)) \Rightarrow f(x+f(f(y))=(f(\sqrt{x}))^2+f(y) \Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$ (cộng tính)
Cho $Q(x;y)$ có tính chất $f(x+y)=f(x)+f(y)$
$Q(x;-y) \Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)$ vậy $x>y \Rightarrow f(x)>f(y)$ (đơn điệu)
$f$ cộng tính và đơn điệu nên $f(x)=ax$ thay vào có $a=1$
Vậy hàm thỏa mãn đề là $f(x)=x$
#3
Posted 04-05-2013 - 19:23
Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^2+f(y))=(f(x))^2+y$
Giả sử $P(x;y)$ có tính chất $f(x^2+f(y))=(f(x))^2+y$
$P(0;x) \Rightarrow f(f(x))=x+(f(0))^2$ vậy $f$ song ánh.
Nhận xét giữa $P(x;y)$ và $P(-x;y)$ thấy $(f(x))^2=(f(-x))^2 \Rightarrow f(-x)=-f(x)$ (do song ánh).
Cho $f(0)=a$ vậy tồn tại $f(z)=-a \Rightarrow f(z)=-f(0) \Rightarrow z=0$
$\Rightarrow a=-a=0 \Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow f(f(x))=x$
$P(x;0) \Rightarrow f(x^2)=(f(x))^2$ vậy $t>0 \Rightarrow f(t)>0$
$P(\sqrt{x};f(y)) \Rightarrow f(x+f(f(y))=(f(\sqrt{x}))^2+f(y) \Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$ (cộng tính)
Cho $Q(x;y)$ có tính chất $f(x+y)=f(x)+f(y)$
$Q(x;-y) \Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)$ vậy $x>y \Rightarrow f(x)>f(y)$ (đơn điệu)
$f$ cộng tính và đơn điệu nên $f(x)=ax$ thay vào có $a=1$
Vậy hàm thỏa mãn đề là $f(x)=x$
Chỗ chứng minh cộng tính của bạn có vấn đề. Theo cách chứng minh của bạn thì $f$ chỉ cộng tính tức:
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$
khi $x\geq 0$ chứ không phải $x \in R$.
Mình làm như sau:
Cũng như cách trên,ta chỉ ra được:
$$f(0)=0$$
$$f(f(y))=y$$
$$f(x^2)=f^2(x)$$
Thay $y=x$ vào đề bài,ta có:
$f(x^2+f(x))=f^2(x)+x$
$\Leftrightarrow f(f(x^2+f(x)))=f(f^2(x)+x)$
$\Leftrightarrow x^2+f(x)=f(f^2(x)+x)$
Giả sử $x=f(a)$. Thay vào trên và sử dụng đề bài,ta có:
$x^2+f(x)=f(f^2(x)+f(a))=f^2f(x)+a=x^2+a$
Vậy $\Rightarrow a=f(x) \Rightarrow f(x)=x$.Thử lại thấy đúng.
Vậy $f(x)=x$ là hàm số duy nhất thỏa mãn.
___________________
Hic,chỗ cuối nhìn nhầm! @@
Edited by Idie9xx, 24-05-2013 - 10:05.
#4
Posted 04-05-2013 - 20:02
Chỗ chứng minh cộng tính của bạn có vấn đề. Theo cách chứng minh của bạn thì $f$ chỉ cộng tính tức:
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$
khi $x\geq 0$ chứ không phải $x \in R$.
Mình làm như sau:
Cũng như cách trên,ta chỉ ra được:
$$f(0)=0$$
$$f(f(y))=y$$
$$f(x^2)=f^2(x)$$
Thay $y=x$ vào đề bài,ta có:
$$ f(x^2+f(x))=f^2(x)+x$$
$$ \Lefrightarrow f(f(x^2+f(x)))=f(f^2(x)+x)$$
$$ \Lefrightarrow x^2+f(x)=f(f^2(x)+x)$$
Giả sử $x=f(a)$. Thay vào trên và sử dụng đề bài,ta có:
$$ x^2+f(x)=f(f^2(x)+f(a))=f^2f(x)+a=x^2+a $$
Vậy $\Rightarrow a=f(x) \Rightarrow f(x)=x$.Thử lại thấy đúng.
Vậy $f(x)=x$ là hàm số duy nhất thỏa mãn.
Không quan trọng lắm $x>0$ vì $f(-x)=-f(x)$ và $f(x+y)=f(x)+f(y)$ có tính đối xứng nên có thể chứng minh cho $x \in \mathbb{R}$
Với $x>0$ thì $f(x+y)=f(x)+f(y) \Rightarrow -f(x+y)=-f(x)-f(y)$
$\Rightarrow f(-x-y)=f(-x)+f(-y)$ nên cũng đúng cho $x \in \mathbb{R}$
Còn bài của bạn $x=f(a)$ thì $f(x)=a$ là điều hiển nhiên khi $f(f(x))=x$ và không thể chứng minh $f(x)=x$ được
Edited by Idie9xx, 04-05-2013 - 20:04.
Also tagged with one or more of these keywords: pth
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Started by Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Started by poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Started by hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Started by hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Started by namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users