Chủ đề này có 4 trả lời

[namcpnh]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa :

 

$f(x^2f(x)+f(y))=(f(x))^3+y$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$

[Idie9xx]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa :

 

$f(x^2f(x)+f(y))=(f(x))^3+y$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$

Giả sử $P(x;y)$ có tính chất $f(x^2f(x)+f(y))=(f(x))^3+y$

$P(0;x) \Rightarrow f(f(x))=x+(f(0))^3$ vậy $f$ song ánh

Vậy tồn tại $k$ để $f(k)=0$.

$P(k;x) \Rightarrow f(k^2f(k)+f(x))=(f(k))^3+x \Rightarrow f(f(x))=x \Rightarrow f(0)=0$

$P(f(x);0) \Rightarrow f((f(x))^2x)=x^3 \Rightarrow f(x^3)=(f(x))^2x$

$P(f(z);f(y)) \Rightarrow f((f(z))^2z+y)=z^3+f(y) \Rightarrow f(f(z^3)+y)=f(f(z^3))+f(y)$

Do $f$ song ánh nên $f(z^3)$ có thể coi là 1 biến cho $x=f(z^3)$ có $f(x+y)=f(x)+f(y)$

Hàm cộng tính kết hợp với tính liên tục có được hàm $f(x)=x$ thỏa đề

Vậy hàm thỏa là $f(x)=x$

 

Dòng này là sao vậy? Hình như không có định lí hay bất cứ cái gì nói là hàm liên tục thì từ hàm $\mathbb{Q}$ ta ra hàm $\mathbb{R}$ cả?

Hơi giống cauchy nên chém bừa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 06-05-2013 - 20:35

[namcpnh]

Giả sử $P(x;y)$ có tính chất $f(x^2f(x)+f(y))=(f(x))^3+y$

$P(0;x) \Rightarrow f(f(x))=x+(f(0))^3$ vậy $f$ song ánh

Vậy tồn tại $k$ để $f(k)=0$.

$P(k;x) \Rightarrow f(k^2f(k)+f(x))=(f(k))^3+x \Rightarrow f(f(x))=x \Rightarrow f(0)=0$

$P(1;0) \Rightarrowf f(f(1))=(f(1))^3=f(1) \Rightarrow f(1)=1$

$P(1;f(x)) \Rightarrow f(x+1)=f(x)+1$

Từ đây có thể chứng minh được $f(x)=x,\forall x \in \mathbb{Q}$

Kết hợp với tính liên tục đề cho có được hàm $f(x)=x,\forall x \in \mathbb{R}$ thỏa đề

 

Dòng này là sao vậy? Hình như không có định lí hay bất cứ cái gì nói là hàm liên tục thì từ hàm $\mathbb{Q}$ ta ra hàm $\mathbb{R}$ cả?

[namcpnh]

Giả sử $P(x;y)$ có tính chất $f(x^2f(x)+f(y))=(f(x))^3+y$

$P(0;x) \Rightarrow f(f(x))=x+(f(0))^3$ vậy $f$ song ánh

Vậy tồn tại $k$ để $f(k)=0$.

$P(k;x) \Rightarrow f(k^2f(k)+f(x))=(f(k))^3+x \Rightarrow f(f(x))=x \Rightarrow f(0)=0$

$P(f(x);0) \Rightarrow f((f(x))^2x)=x^3 \Rightarrow f(x^3)=(f(x))^2x$

$P(f(z);f(y)) \Rightarrow f((f(z))^2z+y)=z^3+f(y) \Rightarrow f(f(z^3)+y)=f(f(z^3))+f(y)$

Do $f$ song ánh nên $f(z^3)$ có thể coi là 1 biến cho $x=f(z^3)$ có $f(x+y)=f(x)+f(y)$

Hàm cộng tính kết hợp với tính liên tục có được hàm $f(x)=x$ thỏa đề

Vậy hàm thỏa là $f(x)=x$

 

 

Cách giải có vẻ đúng ( ai kiểm tra coi sai gì không?) nhưng cách sau đây có vẻ hay hơn.

 

Sao khi tìm được $f(0)=0$

 

Ta chọn $y=0$ ta có $f(x^2f(x))=(f(x))^3$

 

Khi đó PTH thành $f(x^2f(x)+f(y))=f(x^2f(x))+y$ (*)

 

Chọn $y=0$ ta có $f(f(y))=y$

 

Thay $y=f(y)$ và $x$ bởi $x^2f(x)$ vào (*) ta có :$f(x+y)=f(x)+f(y)$

 

Vì là hàm liêu tục nên theo PTH Cauchy ta có : $f(x)=ax$

 

Thay vào tìm được $a=1$

 

Thử lại thỏa.

 

Vậy $f(x)=ax$, $\forall x\in \mathbb{R}$.

[Idie9xx]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa :

 

$f(x^2f(x)+f(y))=(f(x))^3+y$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$

Một cách khác không dùng Cauchy và liên tục

Giả sử $P(x;y)$ có tính chất $f(x^2f(x)+f(y))=(f(x))^3+y$

$P(0;x) \Rightarrow f(f(x))=x+(f(0))^3$ vậy $f$ song ánh

Vậy tồn tại $k$ để $f(k)=0$.

$P(k;x) \Rightarrow f(k^2f(k)+f(x))=(f(k))^3+x \Rightarrow f(f(x))=x \Rightarrow f(0)=0$

$P(f(x);0) \Rightarrow f((f(x))^2x)=x^3$ (*)  $\Rightarrow f(x^3)=(f(x))^2x$

Với $x^3>0 \Rightarrow x>0 \Rightarrow (f(x))^2x>0 \Rightarrow f(x^3)>0$

Vậy với $t>0 \Rightarrow f(t)>0$ tương tự với $t<0 \Rightarrow f(t)<0$ hay là $t \cdot f(t)>0$

Đặt $z=f(x)$ thì

$P(x;f(xz^2-x^2z)) \Rightarrow f(x^2z+f(f(xz^2-x^2z)))=z^3+f(xz^2-x^2z)$

$\Rightarrow f(xz^2)=z^3+f(xz(z-x))$(vì $f(f(x))=x$) $\Rightarrow f(xz(z-x))=x^3-z^3$ ( theo (*))

Dễ thấy $f(xz(z-x))$ và $x^3-z^3$ trái dấu nên $f(x)=z=x$ (thỏa)

Vậy hàm thỏa mãn đề là $f(x)=x$

 

-------------

 

@namcpnh: Một bài vô cùng hại não   ( về cả cách giải và cách trình bày) . Mình đã sửa lại bài cho dễ hiểu sau 1 hồi hỏi bài Idie9xx tới tấp.Bài này giải mà không cần dùng dữ kiện liên tục. Very good .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 07-05-2013 - 13:33