Chủ đề này có 3 trả lời

[thukilop]

$\boxed{\text{Problem}}$

Tìm $f: R \rightarrow R$ thỏa mãn: với mọi $x,y$ thuộc R

 $$f(x^{2}-y^{2})=xf(y)-yf(x)$$ 

 

 

[N H Tu prince]

$\boxed{\text{Problem}}$

Tìm $f: R \rightarrow R$ thỏa mãn: với mọi $x,y$ thuộc R

 $$f(x^{2}-y^{2})=xf(y)-yf(x)$$ 

$x=y\Rightarrow f(0)=0$

$x=-y\Rightarrow f(0)=x(f(-x)+f(x))\Rightarrow -f(x)=f(-x)$

Thay $y$ bởi $-y$ $\Rightarrow f(x^2-y^2)=xf(-y)+yf(x)=-xf(y)+yf(x)$

$\Rightarrow -xf(y)+yf(x)=xf(y)-yf(x)\Rightarrow xf(y)=yf(x)\Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\frac{f(y)}{y}$

$\Rightarrow \frac{f(x)}{x}=c=const\Rightarrow f(x)=cx$

Thử lại chỉ có $c=0$ thoả mãn,vậy hàm $f(x)=0$ là hàm thoả mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 22-05-2013 - 12:16

[thukilop]

$x=y\Rightarrow f(0)=0$

$x=-y\Rightarrow f(0)=x(f(-x)+f(x))\Rightarrow -f(x)=f(-x)$

Thay $y$ bởi $-y$ $\Rightarrow f(x^2-y^2)=xf(-y)+yf(x)=-xf(y)+yf(x)$

$\Rightarrow -xf(y)+yf(x)=xf(y)-yf(x)\Rightarrow xf(y)=yf(x)\Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\frac{f(y)}{y}$

$\Rightarrow \frac{f(x)}{x}=c=const\Rightarrow f(x)=cx$

Thử lại chỉ có $c=0$ thoả mãn,vậy hàm $f(x)=0$ là hàm thoả mãn

- Chỗ này bạn hình như nhầm thì phải  ... Phải là thay $y = -x$  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 25-05-2013 - 14:23

[namcpnh]

- Chỗ này bạn hình như nhầm thì phải  ... Phải là thay $y = -x$  

 

Hai cái là như nhau thôi, nhưng nếu nói là " thay $x$ bởi $-y$" và " thay $y$ bởi $-x$" thì khác nhau. Vào bài thi thì có vẻ các thầy cô thích " thay ... bởi ... " hơn .