Chủ đề này có 1 trả lời

[Zaraki]

Bài 3. Tìm hàm $f: \Re \to \Re$ thỏa mãn 

$$ f( x^{3} )+ f(y^{3}) = (x+y)(f(x^{2} )+f(y^{2} )-f(xy )) $$

(Albania IMO TST 2013)

[Idie9xx]

 

Bài 3. Tìm hàm $f: \Re \to \Re$ thỏa mãn 

$$ f( x^{3} )+ f(y^{3}) = (x+y)(f(x^{2} )+f(y^{2} )-f(xy )), (*)$$

(Albania IMO TST 2013)

 

Cho $x=-y$ có $f(x^3)+f(-x^3)=0 \Rightarrow f(x^3)=-f(-x^3)$ vậy $f$ là hàm lẻ.

Cho $x=y$ có $f(x^3)=xf(x^2)$ cho $x=0$ có $f(0)=0$

Ta có $(*)\Rightarrow xf(x^2)+yf(y^2)=(x+y)(f(x^2)+f(y^2)-f(xy))$

$\Rightarrow (x+y)f(xy)=xf(y^2)+yf(x^2)$

Cho $y=x^2$ có $(x+x^2)f(x^3)=xf(x^4)+x^2f(x^2) \Rightarrow (x+x^2)xf(x^2)=xf(x^4)+x^2f(x^2)$

$\Rightarrow f(x^4)=x^2f(x^2)$ từ đó chứng minh được $f(x^2)=xf(x)$

Ta có $(x+y)f(xy)=xf(y^2)+yf(x^2) \Rightarrow (x+y)f(xy)=xy(f(x)+f(y))$

Cho $y=1$ có $(x+1)f(x)=x(f(x)+f(1)) \Rightarrow f(x)=xf(1)$ (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=c \cdot x$ với $c=f(1)$ là hằng số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 26-05-2013 - 09:48