Cho $x,y,z$ thay đổi, thuộc $[0;10]$ và $x+y+z=15$
Tìm giá trĩ lớn nhất của: $S=x^3+y^3+z^3$
Cho $x,y,z$ thay đổi, thuộc $[0;10]$ và $x+y+z=15$ Tìm giá trĩ lớn nhất của: $S=x^3+y^3+z^3$
Bắt đầu bởi sasuke4598, 10-06-2013 - 12:59
bất đẳng thức và cực trị
#1
Đã gửi 10-06-2013 - 12:59
sasuke4598
-
- Thành viên
-
- 54 Bài viết
Hạ sĩ
To the extent math refers to reality, we are not certain;
to the extent we are certain, math does not refer to reality.~~Albert Einstein
#2
Đã gửi 10-06-2013 - 13:28
banhgaongonngon
-
- Thành viên
-
- 1046 Bài viết
Thượng úy
Cho $x,y,z$ thay đổi, thuộc $[0;10]$ và $x+y+z=15$
Tìm giá trĩ lớn nhất của: $S=x^3+y^3+z^3$
Đặt $x=\max \left ( x,y,z \right )$. Khi đó
$3x\geq x+y+z=15\Rightarrow 5\leq x\leq 10$ $\Leftrightarrow (x-5)(x-10)\leq 0$ $(*)$
Ta có $x^{3}+y^{3}+z^{3}=x^{3}+(y+z)^{3}-3yz(y+z)$
$\leq x^{3}+(y+z)^{3}=x^{3}+(15-x)^{3}=45x^{2}-675x+3375$
$=45(x-5)(x-10)+1125\leq 1125$ (theo $(*)$)
Dấu "=" xảy ra $\iff (x,y,z)=(10,5,0)$ và các hoán vị.
Vậy giá trị lớn nhất của $S$ bằng $1125$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 10-06-2013 - 13:41
- Oral1020 và hoahong123 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
