ducthinh26032011

Lời giải.

....

Nếu đã có ý định biến đổi tương đương,sao em k làm ngay từ đầu luôn,sẽ nhẹ nhàng hơn đấy:

Tương đương:$\frac{2(a+b+1)}{4ab+2a+2b+1}\geq \frac{2}{ab+2}$

$\Leftrightarrow a^{2}b+ab^{2}+1\geq 3ab$ (đúng)

nên phép chứng minh hoàn tất.

cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. cmr $\sum a^{2}$(1) là bình phương của một số

Từ điều kiện suy ra được $c=\frac{ab}{a+b}$,thay vào (1) thôi.Đáp án là $\left ( \frac{a^{2}+b^{2}+ab}{a+b} \right )^{2}$

Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn $xy+yz+zx+xyz=4$. Chứng minh rằng : $x+y+z\geq xy+yz+zx$

Dựa vào điều kiện,tồn tại $a,b,c$ thỏa $x=\frac{2a}{b+c},y=\frac{2b}{c+a},z=\frac{2c}{a+b}$.Ta cần cm:

$\sum \frac{a}{b+c}\geq \sum \frac{2ab}{(b+c)(c+a)}$

$\Leftrightarrow \sum a(a+b)(a+c)\geq \sum 2ab(a+b)$

$\Leftrightarrow \sum a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq \sum ab(a+b)$ (đúng theo Schur)

Vậy,bài toán được chứng minh.

giải hệ pt:$\left\{\begin{matrix} 2x^{2} +x-\frac{1}{y}=2& & \\ y-y^{2}x-2y^{2}=-2& & \end{matrix}\right.$

Bài này quy về hệ đối xứng:

$\left\{\begin{matrix} 2x^{2} +x-\frac{1}{y}=2& & \\ y-y^{2}x-2y^{2}=-2& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^{2} +x=2+\frac{1}{y} & & \\ 2\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{y}=x+2 & & \end{matrix}\right.$

Đặt:$\frac{1}{y}=a (a\neq 0)$,ta được:

$\left\{\begin{matrix} 2x^{2} +x=2+a & & \\ 2a^{2}+a=2+x & & \end{matrix}\right.$

Đến đây đơn giản rồi.

P/s:Chậm hơn rồi (

Bài toán:Cho $a,b,c> 0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+2abc=4c^{3}$.Chứng minh:

$$\sum(a+b)[\frac{a^{2}+1}{4}(\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1})+\frac{b^{2}+1}{4}(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2c-1})+\frac{2}{3}(2c^{2}+ab)(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})]\geq 48$$

em đồng à

Giải HPT sau:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{1+2x_{1}}+\sqrt{1+2x_{2}}+...+\sqrt{1+2x_{2009}}=2009.\sqrt{\frac{2010}{2009}}\\ \sqrt{1-2x_{1}}+\sqrt{1-2x_{2}}+...+\sqrt{1-2x_{2009}}=2009.\sqrt{\frac{2008}{2009}} \end{matrix}\right.$

Ta đặt:

$A=2\sum_{i=1}^{2009}x_{i}$

Ta có:

$\sum_{i=1}^{2009}(2x_{i}+1+\frac{2010}{2009})\geq 2\sqrt{\frac{2010}{2009}}.\sum_{i=1}^{2009}\sqrt{2x_{1}+1}$

$\Leftrightarrow A\geq 1(1)$

Ta lại có:

$\sum_{i=1}^{2009}(1-2x_{i}+\frac{2008}{2009})\geq 2\sqrt{\frac{2008}{2009}}.\sum_{i=1}^{2009}\sqrt{1-2x_{1}}$

$\Leftrightarrow A\leq 1(2)$

Từ $(1),(2)$ $\Leftrightarrow A=1$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x_{i}=\frac{1}{2.2009}(i=\overline{1,2009})$

Bài toán:

Cho $3$ số thực $x,y,z$ không âm thỏa $x+y+z=1$

Tìm giá trị lớn nhất của $Q=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$

Các anh giúp em giải bài này với. Em thấy ôn thi vào chuyên toán, cái phần HPT cứ như kiểu là học trước hết kiến thức THPT ý: \[{x^3} + 3{x^2} + 2{y^2}(x + 1) + 12y + 1 + 3x = 0\] và \[{x^2} + 8{y^2} + 2x = 11\]. Chẳng hiểu sao dung cái mathtype mà chẳng thấy cái ngoặc đâu!!!

Hệ trên tương đương:
$$\left\{\begin{matrix} (x+1)^{3}+2y^{2}(x+1)+12y=0 & & \\ (x+1)^{2}+8y^{2}=12(2) & & \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)^{3}+2y^{2}(x+1)+[(x+1)^{2}+8y^{2}]y=0 (1)& & \\ (x+1)^{2}+8y^{2}=12 & & \end{matrix}\right.$$
Từ $(1)$:
$$(x+1)^{3}+2y^{2}(x+1)+y(x+1)^{2}+8y^{3}=0$$
$$\Leftrightarrow (x+2y+1)[(x+1)^{2}-y(x+1)+4y^{2}]=0$$
$$\Leftrightarrow x+2y+1=0 ((x+1)^{2}-y(x+1)+4y^{2}> 0)$$
$\Leftrightarrow y=\frac{-x-1}{2}$ thay vào $(2)$,ta được:
$$(x+1)^{2}+2(x+1)^{2}=12$$
$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\Rightarrow y=-1 & & \\ x=-3\Rightarrow y=1 & & \end{bmatrix}$$
Kết luận .....

Tìm tất cả hàm số f: R----> R

$f(x+y)+f(x-y)-2f(x).f(1+y)=2xy(3y-x^2)$

$\forall x,y \epsilon \mathbb{R}$

Bài này có vấn đề rồi
Cho $y=0$,ta được :$2f(x)-2f(x).f(1)=0\Leftrightarrow 2f(x)[1-f(1)]=0$
Nếu $f(x)=0$,lấy $x,y\neq 0$ hoặc $3y\neq x^{2}$ thì k thỏa mãn
$\Rightarrow f(1)=1$
Cho $x=y=1$:
$f(0)-f(2)=4$
Cho $x=1;y=-1$
$\Rightarrow f(2)-f(0)=8$
Vô lí !! @@

Giải HPT
$\begin{Bmatrix} xy^2 -2y +3x^2=0 \\ y^2 +x^2y +2x =0 \end{Bmatrix}$

Với $x=0\Rightarrow y=0$
Xét: $x,y\neq 0$
Chia cả 2vế cho xy,ta được hệ:
$\left\{\begin{matrix} y-\frac{2}{x}=\frac{-3x}{y} & & \\ x+\frac{2}{y}=\frac{-y}{x} & & \end{matrix}\right.$
Nhân 2 vế:
$(y-\frac{2}{x})(x+\frac{2}{y})=3$
$\Leftrightarrow xy-\frac{4}{xy}=3$
$(xy)^{2}-3xy-4=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} xy=4 & & \\ xy=-1 & & \end{bmatrix}$
Tới đây đơn giản rồi.

Câu 3
Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.CMR

$\frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab}\ge \sqrt{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Bình phương 2 vế:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}c^{2}}+2\sum \frac{\sqrt{ab}}{c^{2}}\geq 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}$
Ta có:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}c^{2}}+\sum 3\sqrt{3}bc+\sum 3\sqrt{3}bc\geq 9a\Leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}c^{2}}+6\sqrt{3}\geq 9(a+b+c)\geq 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}(1)$
$2\sum \frac{\sqrt{ab}}{c^{2}}\geq 2.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\geq 6\sqrt{3}(1)$
Do:$1=(ab+bc+ca)^{3}\geq 27(abc)^{2}\Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{1}{abc}\geq 3\sqrt{3}$
Cộng vế theo vế,ta được điều phải chứng minh.

Thân chào tất cả các bạn

Để thay cho lời mở đầu,mời các bạn đọc qua topic sau.

Nào ,chúng ta cùng bắt tay vào vấn đề chính.

Bài toán 1:
Giải phương trình sau : $\left\lfloor x \right\rfloor + \left\{y \right\}=z$.

Em không hiểu đề toán lắm ạ,nhưng thấy giải ra nó kì kì sao ấy
$[x]+\left\{y \right\}=[z]+\left\{z \right\}$
Giả sử $[x]> [z]$
$\Rightarrow [x]=[z]+a$ với $a\in Z^{+}$
$\Rightarrow [x]+\left\{y \right\}=[z]+\left\{y \right\}+a$
$\Leftrightarrow [z]+\left\{z \right\}=[z]+\left\{y \right\}+a\Leftrightarrow \left\{z \right\}=\left\{y \right\}+a$ (vô lý)
Chứng minh tương tự khi $[z]> [x]$
$\Rightarrow [z]=[x]$ $\Rightarrow \left\{z \right\}=\left\{y \right\}$
Vậy ...

Thân chào tất cả các bạn

Thay cho lời mở đầu,mời các bạn đọc qua topic sau.

Nào,chúng ta cùng bắt tay vào vấn đề chính .

Bài toán 1:
Giải phương trình sau :
\[\sqrt[3]{{2x + 3}} + 1 = {x^3} + 3{x^2} + 2x\]

Cộng 2 vế thệm $2x+2$ ,ta được:
$2x+3+\sqrt[3]{2x+3}=(x+1)^{2}+(x+1)$
Xét hàm $f(t)=t^{3}+t$ là hàm tăng
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+3}=x+1$
đến đây đơn giản rồi.

@ducthinh : Không hề đơn giản vậy đâu.Xem lời giải thích ở trên.

Em bổ sung ạ ^^
$\sqrt[3]{2x+3}=x+1\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+x-2=0\Leftrightarrow (x+2)(x^{2}+x-1)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-2 & & \\ x^{2}+x-1=0(1) & & \end{bmatrix}$
Xét $\Delta$ phương trình (1) suy ra có 2 nghiệm $x= \frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$
Kết luận ....

$\frac{2+\sqrt{2a}}{2-a}+\frac{2+\sqrt{2b}}{2-b}\geq 4$

$\frac{2+\sqrt{2a}}{2-a}+\frac{2+\sqrt{2b}}{2-b}=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{b}})$
Ta chứng minh:
$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{a}}\geq \sqrt{2}a+\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow (\sqrt{2}\sqrt[4]{a^{3}}-\sqrt[4]{a})^{2}\geq 0$
Tương tự,ta có:
$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{b}}\geq \sqrt{2}b+\frac{1}{\sqrt{2}}$
Cộng 2 vế nhân với $\sqrt{2}$,ta được:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{b}})\geq 4$ (đpcm)