NLT

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2-c^2; b^2+c^2-a^2; c^2+a^2-b^2$ là các số dương. Chứng minh rằng: \[\frac{a}{b^2+c^2-a^2}+\frac{b}{c^2+a^2-b^2}+\frac{c}{a^2+b^2-c^2} \ge \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \]

___

NLT

Chúc chị đạt kết quả cao. Chào thân ái và hẹn gặp lại vào 1 ngày nào đó không xa

Ngày thi: 18/3/2013.

Câu 1: a) Giải phương trình: \[2(x^2-3x+2)=3 \sqrt{x^3+8}\]
b) Cho $a,b,c,d,e,f$ nguyên dương.
Đặt $S=a+b+c+d+e+f; Q=ab+bc+ca-de-ef-fd; R=abc+def$. Biết rằng $S | Q$ và $S | R$. Chứng minh rằng $S$ là hợp số.

Câu 2: a) 3 góc $x,y,z$ thỏa $0 \le x \le y \le z \le 2\pi$ và thỏa: $\cos x + \cos y + \cos z = \sin x + \sin y + \sin z=0$. Chứng minh $x,y,z$ lập thành $1$ cấp số cộng.
b) Cho dãy ${u_n}$ xác định: \[u_1=1; u_{n+1}=1+u_1u_2...u_{n}\]
Đặt $S_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{u_k}$ . Tìm $\lim S_n$.

Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thang $(AD//BC)$ và $AD=2BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB$. Mặt phẳng $(DMN)$ cắt $SC$ tại $P$. Tính tỉ số $\frac{CP}{CS}$.

Câu 4: Trong $\Delta ABC$, $M$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống đường phân giác trong của góc $\angle BCA$. $N,L$ lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ các đỉnh $A,C$ xuống đường phân giác trong của góc $\angle ABC$. Gọi $F$ là giao điểm của các đường thẳng $MN$ và $AC$, $E$ là giao điểm của các đường thẳng $BF$ và $CL$, $D$ là giao điểm của $BL$ và $AC$. Chứng minh rằng: $DE // MN$.

Câu 5: Cho hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{N}^{*}$ với $f(1)=2^2013$ thỏa: \[ (1+[f(n)]^2).f(n+1)=[f(n)]^2\]
Chứng minh rằng $f(n) \le 1, \forall n>2014$.

P/s: Mới thi xong chiều nay, mệt lả. Bỏ câu hình phẳng + câu số, xác định, câu hàm hình như đề sai !
___
NLT

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $(3^{n}-1)\vdots 2^{2012}$

Gợi ý: Dùng bổ đề: $a^{2^k} \vdots 2^{k+2}$ và $a^{2^k}$ không chia hết cho $2^{k+2}$ với $a$ lẻ.
___
NLT

Ngày 4/3/2012

Câu 1: Có 1 chút trục trặc, phiền các bạn không post đề của câu này ! (Tks)

Câu 2: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định: $x_0=3; x_{k+1}=x_k+\frac{1}{x_k^2}, k \ge 0$.
Chứng minh rằng:
a) $x_{k+1}^3<x_k^3+3+\frac{1}{k}+\frac{1}{9k^2}$ với $k \in \mathbb{N}^{*}$
b) Dãy số $(\frac{x_n^3}{n})$ có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

Câu 3: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:
\[ a) \sum{\frac{IA^2}{m_a^2}} \le \frac{4}{3} b) \sum{\frac{IA^2}{m_a^2}} \le \sum{\frac{IA^2}{l_a^2}} \]
Câu 4: Chứng minh rằng căn bậc ba của ba số nguyên tố khác nhau không thể là ba số hạng (không nhất thiết liên tiếp) của một cấp số cộng.

___
NLT

Không hiểu từ "ý tưởng mới" của NLT là gì?Ý bạn muốn nói là 1 ý tưởng mới về pp giải pth hay là ý tưởng về việc việc viết CĐ PTH.

Theo mình thấy thì chưa có diển đàn nào viết về CĐ này.Nếu lên google search thì cụng không thể tìm được tài liệu hay và đầy đủ dạng.Mà PTH là 1 phần qua trọng trong bấy cứ kì thi nào --) ĐPCM

Cái mà bạn nghiên cứu được Mình nghĩ vậy

Theo em nếu làm vol 2 thì ta nên làm Số học trước vì phần này khá quen thuộc với mọi học sinh từ THCS đến THPT.Ngoài ra CĐSH vol 1 còn nhiều vấn đề chưa đề cập đến hoặc đề cập chưa kĩ.Còn CĐĐTTH thì viết hay nhưng là phần hơi khó,nên cứ từ từ cho các mem hiểu xong vol 1 đã .

Nếu viết chuyên đề khác thì ta nên chọn PT Hàm.

Ai thích like phát .

1 chuyên đề mới không xa và người cầm quân lần này lại là thầy Thanh
Mình tin chắc là sẽ có 1 chuyên đề cực cực chất nữa ra đời.
Về phương trình hàm, nếu bạn có "ý tưởng mới" thì hãy nêu ra mọi người xem cần thiết phải viết khộng, chứ thực sự đâu phải muốn viết gì là viết đúng không nào?
___
NLT

Hình như có mấy em cùng trường vào đây tám chuyện thôi thì phải =.=

Giải phương trình sau với $\alpha < \frac{\pi}{2}$:
\[\frac{\sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin (\alpha +\frac{\pi}{3})}=1+\frac{1}{2\sin(\frac{5\pi}{6}-2\alpha)}\]

Gợi ý kết quả là:

Spoiler

$\alpha = 40^o$

___
NLT

a` la` ở box Lượng giác va` phương trinh` lượng giác

Mình vừa tìm trong mục Các bài viết bị xóa (chức năng của MOD) thì không thấy chủ đề nào tại LG và PTLG gần đây cả ! Chắc phải nhờ tới các anh xử rồi
___
NLT

Giả sử x và y là các số nguyên khác 0 sao cho $\frac{x^2+y^2}{x+y}$ là số nguyên và là ước của 1978. Chứng minh rằng x=y.

Lời giải:

Xét các trường hợp $x=1; x=-1$ để tìm $y$ và ngược lại.
Xét trường hợp $x \neq y$ và khác $ \pm 1$
Gọi $m=\gcd(x,y)$, đặt $x=ma, y=mb \to \frac{x^2+y^2}{x+y}=m \frac{a^2+b^2}{a+b}$ ($(a,b)=1; a,b \neq \pm 1$ ).
Suy ra: $\frac{a^2+b^2}{a+b} \in \mathbb{Z}$ và là ước của $1978$.
Từ giả thiết suy ra: $2ab \vdots a+b$
Có: $2a^2+2ab \vdots a+b \to 2a^2 \vdots a+b$. Đặt $2a^2=k(a+b)$.
Mà: $(a+b;a)=(b;a)=1 \to k \vdots a^2$, đặt $k=na^2 \to 2=n(a+b)$, tới đây đơn giản rồi nhé

@CelEstE: Kí hiệu thuộc của bạn là kí hiệu của epsilon trong giải tích rồi bạn ạ. Nếu bạn muốn gõ ( $\in$ ) thì dùng code:

$ \in $

và gõ tập số nguyên là $\mathbb{Z}$ chứ không phải $Z$ (các tập kia tương tự), bạn dùng code

$ \mathbb{Z} $

.

___
NLT

Tối qua thức chờ 00:00 post bài (đã thành công ) mà không để ý tới chuyên đề này . Sáng nay dậy vội lên VMF, bất chợt nhìn thấy bìa màu xanh "Đẳng thức Tổ hợp" quen thuộc, thật sự là tuyệt vời lắm ạ ^^! Nhân dịp năm mới chúc mọi người có một cái Tết vui vẻ, sang năm Qúy Tị này vạn sự như ý, phúc lộc đầy nhà Chúc VMF ngày càng phát triển và có nhiều chuyên đề chất lượng hơn nữa (=.= tiếc là cái này em không rành nên không tham gia được, huhu)
___
NLT

Happy New Year !

Cho $\Delta ABC$ nhọn, các đường cao $BE,CF$. $M$ là trung điểm của $BC$. $N$ là giao điểm của $AM$ và $EF$. Gọi $X$ là hình chiếu của $N$ lên $BC$. $Y,Z$ là hình chiếu của $X$ lên $AB,AC$. Chứng minh rằng $N$ là trực tâm tam giác $AYZ$.
___
NLT

Một câu hỏi đặt ra: Nếu đề bài yêu cầu giải phương trình nghiệm nguyên thì ta sẽ giải thế nào ?

Đơn giản thôi em.
Trường hợp $x,y>0$ giải như em đã trình bày.
Trường hợp $x,y<0$, thì $(-x)$ và $(-y)$ là các số nguyên dương, em viết lại phương trình đã cho: \[(-x)^3(-y)+(-x)(-y)^3+3(-x)+3(-y)=17 \to (-x)^3(-y)+(-x)(-y)^3<17\]
Tới đây đơn giản vì $-x, -y >0$.
Trường hợp có $1$ trong $2$ số $x,y < 0$, không mất tính tổng quát giả sử $x > 0 >y$, đặt $a=-y$, phương trình ban đầu sẽ thành: \[{x^3}\left( { - a} \right) + x{\left( { - a} \right)^3} - 3x + 3a = 17 \to a{x^3} + x{a^3} + 3x + 17 = 3a\]
Phương trình này hoàn toàn đơn giản, chỉ cần 1 đánh giá nhỏ từ phương trình là xong!

Đó là những gợi ý cho câu hỏi mở của em, điều anh muốn nhắc thêm ở đây, đây là 1 phương trình $x,y$ có vai trò như nhau, từ bậc $3$ ta có thể xử lý đến bậc $n$ chăng? Rất nhiều vấn đề mở từ 1 bài toán, có điều là chúng ta có biết xoáy sâu hay không thôi !

Chúc em thành công với những mở rộng khác !
___
NLT

Cho tứ giác $ABCD$ vừa ngoại tiếp vừa nội tiếp. Gọi $S$ và $p$ tương ứng là diện tích và nửa chu vi của tứ giác. Chứng minh rằng: $$S=\dfrac{p^2}{\tan \dfrac{A}{2}+\tan \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{C}{2}+\tan \dfrac{D}{2}}$$
___
NLT