Idie9xx

Tìm giá trị lớn nhất của :
a, $\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}-xy+y^ {2}}$ với $x ;y > 0$
b, $\frac{x}{(x+1995)^{2}}$ Với $x > 0$

a. $$\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}-xy+y^ {2}}=\frac{(x-y)^2+3xy}{(x-y)^2+xy} \leq 3$$

b. $$\dfrac{x}{(x+1995)^{2}}=\dfrac{1}{x+1995\times 2 +\dfrac{1995^2}{x}} \leq \frac{1}{7980}$$

Biết rằng phương trình $x^5-5x^3+4x+1=0$ có 5 nghiệm thực phân biệt $x_1,...x_5$
Tính giá trị biểu thức
$S=\sum_{i=1}^{5}\frac{3x_i-8}{x_i^2-5x_i+6}$
P/S : Câu cuối đề thi giữa kì trường mình.

Cho $f(x)=x^5-5x^3+4x+1$. Tổng quát hơn là $f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
Ta có
$$S=\sum_{i=1}^{5}\dfrac{3x_i-8}{x_i^2-5x_i+6}$$
$$=\sum_{i=1}^{5}\dfrac{1}{x_i-2}+ \sum_{i=1}^{5}\dfrac{2}{x_i-3}$$
$$=\dfrac{d+2.\dfrac{5C_4^3}{C_5^2}c+2^2.\dfrac{5C_4^2}{C_5^3}b+2^3.\dfrac{5C_4^1}{C_5^4}a+5.2^4}{f(2)}+2 \dfrac{d+3.\dfrac{5C_4^3}{C_5^2}c+3^2.\dfrac{5C_4^2}{C_5^3}b+3^3.\dfrac{5C_4^1}{C_5^4}a+5.3^4}{f(3)}$$
$$=49,(27)$$

Cho $k$ là một tự nhiên khác 0 . Số tự nhiên A gồm $2k$ chữ số 1 và số tự nhiên B gồm $k$ chữ số 2. Hỏi : $A - B$ là một số như thế nào .

Cho $C$ là số tự nhiên có $k$ chữ số 1
Ta có $A-B=10^kC-C=(10^k-1)C=9C^2=(3C)^2$
Vậy $A-B$ là số chính phương

tìm x,y nguyên thỏa mãn $$x^y=y^x$$ dùng kiến thức cấp 2

Ta có $$x^y=y^x \Leftrightarrow (\dfrac{x}{y})^y=y^{x-y}$$
Giả sử $x \geq y$ nên $x \vdots y$ cho $\dfrac{x}{y}=k$ được
$$k^y=y^{y(k-1)} \Rightarrow k=y^{k-1} \Rightarrow k=1,k=2 $$
Vậy các nghiệm thảo mãn là $(x;y)=(t;t) \cup (x;y)=(4;2)$

Bài toán.
Ch0 hàm số $f \, : \, (0;\infty)\to (0;\infty)$ thỏa mãn điều kiện:
$$f(3x)\geq f\left(\frac{1}{2}f(2x)\right)+2x\, \, \forall x>0$$
Chứng minh rằng $f(x)\geq x\, \forall x>0$
-------
Sr các bạn hqua mình gõ nhầm đề Đã sửa

Đặt $f(x)=xg(x)$
Ta có $f(3x) \geq f(\frac{1}{2}\cdot f(2x))+2x=\frac{f(2x)}{2}\cdot \frac{f(\frac{1}{2}\cdot f(2x))}{\frac{1}{2}\cdot f(2x)}+2x$
Chia 2 vế cho $x$
$\Leftrightarrow 3g(3x) \geq g(2x)\cdot g(\frac{1}{2} \cdot f(2x))+2$
Xét dãy $3U_n \geq U^2_{n-1}+2$
Dễ thấy $2 \geq U_n \geq 1$ hay $2x \geq f(x) \geq x$ (dpcm)

Bạn có thể nêu hướng giải cụ thể cho các bài dạng này không? Hay là chỉ nêu tại sao biết đặt như thế này $t=x+y,1=x-y,x+z=1,y+z=0$.

Mình xin đóng góp thêm 1 cách giải.Có thể hơi giống cách trên.

Ta thêm biến $z$ như sau:$xf(x)-zf(z)=(x-z)f(x+z)$ (1)

$xf(x)-zf(z)=[xf(x)-yf(y)]+[yf(y)-zf(z)]=(x-y)f(x+y)+(y-z)f(y+z)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$(x-z)f(x+z)=(x-y)f(x+y)+(y-z)f(y+z)$(3)

Với $u\in \mathbb{R}$ ta xét hệ $\left\{\begin{matrix} x+z=u\\ x+y=1\\ y+z=0 \end{matrix}\right.$

<=>$(x;y;z)=(\frac{u+1}{2};\frac{1-u}{2};\frac{u-1}{2})$

Khi đó (3) thành $f(u)=f(1)u+f(0)(1-u) ,\forall u\in \mathbb{R}$

Hay $f(x)=ax+b$

-Cách của bạn căn bản giống cách của mình đều dùng phương pháp thêm biến $z$ vào
Mình thì toàn thử xem cách nào hợp thì giải theo cách đó thôi
-Còn cái vụ đặt $t$ và thêm điều kiện của $x,y,z$ thực ra là đặt $x,y,z$ theo $t$ giống bạn
Đặt thế cho dễ nhìn và có thể giải theo cái mà đề bài cho trước

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

$f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y)$

$$f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y)$$
$$=(xf(x)-zf(z))+(zf(z)-yf(y))=f(x^2-z^2)+f(z^2-y^2)$$
Vậy $f(x)=ax$

Tìm tất cả các hàm liên tục: $R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa:
$f(x)=f(\frac{x+1}{x+2})$

Cho dãy $U_n$ có $$\left\{\begin{matrix}
U_0=x\\
U_n=\dfrac{U_{n-1}+1}{U_{n-1}+2}
\end{matrix}\right.$$
Dễ thấy $U_i >0$ và dãy có giới hạn. Mà theo điều kiện đề $f(x)$ là hàm liên tục nên $f(x)=c$

Tìm tất cả các hàm $f$: $R\rightarrow R$ thoả mãn:
$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$ với mọi số thực $x,y$

Có cách còn hay hơn nữa nè
Cho $t=x+y,1=x-y,x+z=1,y+z=0$
Ta có $$f(t)=f(x+y)=(x-y)f(x+y)=xf(x)-yf(y)$$
$$=(xf(x)-zf(z))+(zf(z)-yf(y))=(x-z)f(x+z)+(z-y)f(z+y)$$
$$=f(1)t+f(0)(1-t)=(f(1)-f(0))t+f(0)$$
Vậy các hàm thỏa mãn là $f(x)=ax+b$

Bài toán: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn :
$$f(xy)=f\left(\frac{x^2+y^2}{2} \right)+(x-y)^2 \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Với $y=0$ được $f(\dfrac{x^2}{2})=f(0)-x^2$
Cho $t=\dfrac{x^2}{2}$ được hàm $f(t)=f(0)-2t, \forall t \geq 0$
Với $y=1,x \geq 0$ được $f(x)-(x-1)^2=f\left(\frac{x^2+1}{2} \right)$
Với $y=-1,x \geq 0$ được $f(-x)-(x+1)^2=f\left(\frac{x^2+1}{2} \right)$
$\rightarrow f(x)-(x-1)^2=f(-x)-(x+1)^2 \Leftrightarrow f(-x)=f(x)+4x=f(0)-2(-x)$
Vậy hàm thoả mãn đề là $f(x)=-2x+c,c=const$

PP. Giải phương trình nghiệm nguyên dương $$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$$

Ta có $$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$$
$$\Leftrightarrow 3^m(3^m-1)=n(n+2)(n^2+1)$$
Mà $n;n+2;n^2+1$ không có cùng chung ước là 3 nên chỉ có 1 cái chia hết cho $3^m$
Dễ thấy $3^m(3^m-1)=(n^2+2n)(n^2+1)$ có $(n^2+2n)-(n^2+1)=2n-1=3^m-(3^m-1)=1$
$\Rightarrow n=1 \Rightarrow m=1$ thử lại thấy thỏa mãn

Bài toán: Cho $\overline{abcd}$ là 1 số chính phương và $a=b, c=d$. Tìm $\overline{abcd}$

Ta có $\overline{abcd}=\overline{bbdd}=11.(100b+d)=11(99b+(b+d))=k^2$
$\Rightarrow (b+d) \vdots 11 \Rightarrow 9b+1=h^2 \Rightarrow b=7,d=4$
Vậy số cần tìm là 7744

Giải phương trình:
$$\frac{x-3x^{2}}{2}+\sqrt{2x^{4}-x^{3}+7x^{2}-3x+3}=2$$
Đề của
BlackSweet

$$\frac{x-3x^{2}}{2}+\sqrt{2x^{4}-x^{3}+7x^{2}-3x+3}=2$$
$$\Leftrightarrow x-3x^{2}+2\sqrt{2x^{4}-x^{3}+x^{2}+6x^{2}-3x+3}=4$$
$$\Leftrightarrow 2\sqrt{(2x^{4}-x^{3}+x^{2})+(6x^{2}-3x+3)}=(x^2+3)+(2x^2-x+1)$$
$$\Leftrightarrow 2\sqrt{(2x^{2}-x+1)(x^2+3)}=(x^2+3)+(x^2-x+1)$$
Mà $$2\sqrt{(2x^{2}-x+1)(x^2+3)} \le (x^2+3)+(2x^2-x+1)$$
Nên $$2\sqrt{(2x^{2}-x+1)(x^2+3)}=(x^2+3)+(2x^2-x+1) \Leftrightarrow x^2+3=2x^2-x+1 $$
$$\Leftrightarrow x^2-x-2=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+1)=0 \Leftrightarrow x=2,x=-1$$
______________
@Joker: Chú ý cần ghi rõ áp dụng BDT nào hay phải chứng minh
Do biểu thức chứa căn chưa làm ĐKXD nên ra kq phải thử lại
d=9

 

Thí sinh này chưa đăng kí thi đấu

Tìm các số nguyên dương $q,p,r,n$ thỏa mãn: $(q-p)(q+p+1)=(p-r)(p+r+1)=5n^2$.