eatchuoi19999

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} (18x+9)\sqrt{x^2+x+1}=y\sqrt{4y^2+27}\\ (2y+3)^2=24\sqrt{x}(2y-9) \end{matrix}\right.$

Chứng minh $\forall n\in\mathbb{N}^*$ ta có $\left [ \sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \right ]=\left [ \sqrt{9n+8} \right ]$

Chứng minh $\forall n\in \mathbb{Z}$ ta có:

1) $\left [ \frac{n+2}{4} \right ]+\left [ \frac{n+4}{4} \right ]+\left [ \frac{n-1}{2} \right ]=n$

2) $\left [ \frac{n-\left [ \frac{n-17}{25} \right ]}{3} \right ]=\left [ \frac{8n+13}{25} \right ]$

Chứng minh $\forall x\in \mathbb{R}$ ta có: $[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x]$

Chứng minh $\forall x,y>0$ ta có: 

1) $[x].[y]=[x.y]$

2) $[x-y]\leqslant [x]-[y]\leqslant [x-y]+1$

Cho $x\in \mathbb{R}, m\in N^*$. Chứng minh: $\left [ \frac{[x]}{m} \right ]=\left [ \frac{x}{m} \right ].$

Cho $p,a,b,c\in\mathbb{N}$ thỏa mãn $p=a+b+c.$ Chứng minh $(ap+bc)(bp+ac)(cp+ab)$ là số chính phương.

Cho $(O);(O')$ cắt nhau tại $A;B.$ Tiếp tuyến chung $MN.$ $MC//NA (C\in(O)).$ $I$ là giao $MN;OO'.$ Chứng minh $A,I,C$ thẳng hàng.

Cho $\sqrt{2}-\frac{m}{n}>0(m,n\in\mathbb{N}^*).$ Chứng minh: $\sqrt{2}-\frac{m}{n}>\frac{1}{3mn}.$

Cho $(O_{1});(O_{2})$ cắt nhau tại $A,B.$ Qua $A$ kẻ cát tuyến bất kì cắt $(O_{1});(O_{2})$ lần lượt tại $C,D.$ Đường thẳng $AO_{2}$ cắt $(O_{1})$ tại $P$; đường thẳng $AO_{1}$ cắt $(O_{2})$ tại $Q$. Chứng minh: $\widehat{PCA}=\widehat{QDA}.$

Tìm mối quan hệ giữa $a,b$ để hai phương trình sau nếu có nghiệm thì chỉ có duy nhất một nghiệm chung:

$x^2+2(a-1)x+2a(a-2)=0$ $(1)$

$x^2+2(b-1)x+2b(b-2)=0$ $(2)$

Cho $a,b,c$ thỏa mãn: $14a+6b+3c=0.$ Chứng minh phương trình $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm.

Cho $(O;R).$ $M$ cố định nằm ngoài $(O).$ Cát tuyến $MAB.$ Tiếp tuyến tại $A,B$ cắt nhau tại $C.$ Tứ giác $OACB$ nội tiếp $(K).$ $H$ là giao của $OM$ và $(K);$ $N$ là giao của $CH$ và $AB.$ $I$ là trung điểm $AB.$ 

Chứng minh: $H$ cố định và $IM.IN=IA^2.$

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A.$ $I$ là trung điểm $BC.$ $D\in BC.$ Đường trung trực của $AD$ cắt đường trung trực của $AB,AC$ tại $E,F.$ Chứng minh: $A,E,D,I,F\in$ đường tròn đường kính $EF.$

Bài này đơn giản : Do 2 đường tròn $(O),(S)$ giao nhau tại BC nên $OS$ là trung trực BC hay $OS\perp BC$ .Mà $AH\perp BC= > AH\parallel OS$.Dễ dang chứng minh được $HS\perp EF,AO\perp EF= > HS\parallel AO$

Từ đó AHSO là hình bình hành

Chứng minh $HS\perp EF$ như thế nào hả bạn?