Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix}x^3+x^2y+x-8y=0 \\ x^4y^2-4y^2+x^2=0\end{matrix}\right.$
- TMW yêu thích
Gửi bởi hoangmanhquan trong 27-10-2015 - 21:37
Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix}x^3+x^2y+x-8y=0 \\ x^4y^2-4y^2+x^2=0\end{matrix}\right.$
Gửi bởi hoangmanhquan trong 28-07-2015 - 11:54
Cho tam giác ABC thỏa mãn: $\frac{sin2B+sin2C}{sin2A}=\frac{sin B+sinC}{sinA}$
Chứng minh rằng: $cosB+cosC=1$
Gửi bởi hoangmanhquan trong 17-06-2015 - 20:38
$\left ( \frac{x}{x+1} \right )^2+\left ( \frac{x}{x-1} \right )^2=90$
ĐKXĐ: $x\neq \pm 1$
Đặt:$ \frac{x}{x+1}=a$
$\frac{x}{x-1}=b$
$=>\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=90\\ a+b=2ab \end{matrix}\right.$
Từ đây tìm được $a, b$
Gửi bởi hoangmanhquan trong 09-06-2015 - 19:55
Cho 2015 số thực dương a1,a2,.......,a2015 thỏa mãn
$\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\geq 89$
Chứng minh rắng trong 2015 số trên luôn tồn tại 2 số bằng nhau
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử 2015 số thực đã cho không tồn tại 2 số bằng nhau.
Giả sử: $ a_{1} < a_{2}<a_{3}<......<a_{2015}$
$=>$ $a_{1}\geq 1 ; a_{2}\geq 2 ; a_{3} \geq 3;....; a_{2015} \geq 2015$
$=>$ $ \frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{2}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{3}{\sqrt{a_{3}}}+....+\frac{2015}{\sqrt{a_{2015}}}\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2015}}$ (1)
Lại chứng minh được bất đẳng thức sau:
$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2015}} <2\sqrt{2015}-1<89$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$ \frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{2}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{3}{\sqrt{a_{3}}}+....+\frac{2015}{\sqrt{a_{2015}}}<89$
---> Trái với giả thiết.
=> Điều giả sử là sai.
Vậy trong 2015 số trên luôn tồn tại 2 số bằng nhau
Gửi bởi hoangmanhquan trong 07-06-2015 - 20:25
Tìm hai đa thức $f(x);g(x)$ có hệ số nguyên thoả mãn
$\frac{f(\sqrt{2}+\sqrt{7})}{g(\sqrt{2}+\sqrt{7}}=\sqrt{2}$
Đặt $a=\sqrt{2}+\sqrt{7}$
Tìm đa thức $f(x)$ và $g(x)$ sao cho $f(a)-\sqrt{2}g(a)=0$
Tức là, a là nghiệm của phương trình: $f(x)-\sqrt{2}g(x)=0$
Xét tích: $(x-\sqrt{7}-\sqrt{2})(x-\sqrt{7}+\sqrt{2})=x^2-2\sqrt{7}x+5$
=> a là nghiệm của PT: $x^2-2\sqrt{7}x+5=0$
$=>a^2-2\sqrt{7}a+5=0$
$=> \frac{a^2+5}{2a}=\sqrt{7}$
Mặt khác: $\sqrt{2}=a-\sqrt{7}=a-\frac{a^2+5}{2a}=\frac{a^2-5}{2a}$
Từ đó chọn: $f(x)=x^2-5$
$g(x)=2x$
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Gửi bởi hoangmanhquan trong 27-05-2015 - 20:16
Đến chỗ màu đỏ này làm như này cho nhanh
$\sum \frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geq \sum \frac{2x^2}{2(y^2+z^2)+2x^2}=\sum \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1$
Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không
MAX ngu bđt
Chỗ đó chỉ là BĐT thường dùng thôi em!
$(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)$
Gửi bởi hoangmanhquan trong 21-05-2015 - 11:57
Cho $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=65$ .
Chứng minh rằng: $x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha \leq \frac{13\sqrt{5}}{2}$ với mọi $\alpha \in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki ta có:
$(x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha )^2\leq (x^2+y^2+z^2)(1+2sin^2\alpha +sin^22\alpha )$
$=65.(1+2sin^2\alpha +4sin^2\alpha cos^2\alpha )$
$=65.[1+2sin^2\alpha (1+2cos^2\alpha )]$
$\leq 65.[1+\frac{(2sin^2\alpha +2cos^2\alpha +1)^2}{4}]=\frac{845}{4}$
$=>($x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha\leq \frac{13\sqrt{5}}{2}$
Dấu "=" xảy ra $<=>$
$\left\{\begin{matrix} \alpha =\frac{\pi }{3}\\ x=2\sqrt{5} \\ y=\sqrt{30} \\ z=\sqrt{15} \end{matrix}\right.$
Gửi bởi hoangmanhquan trong 08-05-2015 - 15:57
Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix} x^2+2-3\sqrt{1-x^2}+\sqrt{2y-y^2}=0\\ y^3-x^3+2+3x-3y^2=0 \end{matrix}\right.$
Gửi bởi hoangmanhquan trong 08-04-2015 - 19:31
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn : $x+y+z=2015$.
Chứng minh rằng:
$\sum \frac{2015x-x^2}{yz}+6\geq 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{\frac{2015-x}{x}}$
Gửi bởi hoangmanhquan trong 06-04-2015 - 14:30
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O;R)$, $AB=c$; $BC=a$, $CA=b$. $M$ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ xuống $BC, CA, AB$.
Chứng minh rằng:
$\sum \sqrt{x}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$
Gửi bởi hoangmanhquan trong 05-04-2015 - 19:42
Cho các số thực dương $a, b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.
Tìm GTNN của biểu thức:
$ A=\sum \frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}$
Gửi bởi hoangmanhquan trong 05-04-2015 - 15:05
Làm thử
Ta có $2\sqrt{2x-1}\geq 2x$
=>ta được bpt
$3x^{2}-10x+2\geq 0$
Dùng $\Delta$
Tự tính nốt nha ,làm biếng quá
Bài làm sai chỗ In đậm màu đỏ
Gửi bởi hoangmanhquan trong 01-04-2015 - 19:02
Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} x,y,z\in (0;\sqrt{6})\\ x+y+z=3\sqrt{3} \end{matrix}\right.$
Tìm GTNN:
$A=\sum \frac{1}{\sqrt{6-x^2}}$
Gửi bởi hoangmanhquan trong 28-03-2015 - 19:35
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x+y^2+2y\sqrt{x}-xy^2=0\\ \sqrt{x}-\sqrt{x-y-1}=1\end{matrix}\right.$
Gửi bởi hoangmanhquan trong 28-03-2015 - 19:24
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học