NMDuc98

a+b+c=3. Tìm $MinP=\sqrt{4^{a}+9^{b}+16^{c}}+\sqrt{9^{a}+16^b+4^{c}}+\sqrt{16^{a}+4^{b}+9^{c}}$

Áp dụng Bất Đẳng Thức Bunhiacopski ta có:

$\sqrt{(4^{a}+9^{b}+16^{c})(4+9+16)}\geq \left ( 2.2^a+3.3^b+4.4^c \right )$

<=>$\sqrt{29(4^{a}+9^{b}+16^{c})}\geq \left ( 2.2^a+3.3^b+4.4^c \right )$                  (1)

Tương tự:

$\sqrt{9^{a}+16^b+4^{c}}\geq \left ( 3.3^a+4.4^b+2.2^c \right )$                                        (2)

$\sqrt{16^{a}+4^b+9^{c}}\geq \left ( 4.4^a+2.2^b+3.3^c \right )$                                         (3)

Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta được:

$\sqrt{29}P \geq 2(2^a+2^b+2^c)+3(3^a+3^b+3^c)+4(4^a+4^b+4^c)$

Áp dụng Cô-si ta có:

$\sqrt{29}P\geq 2.3\sqrt[3]{2^a.2^b.2^c}+3.3\sqrt[3]{3^a.3^b.3^c}+4.3\sqrt[3]{4^a.4^b.4^c}$

$<=>\sqrt{29}P \geq 2.3\sqrt[3]{2^{a+b+c}}+3.3\sqrt[3]{3^{a+b+c}}+4.3\sqrt[3]{4^{a+b+c}}$

$<=>\sqrt{29}P \geq 2.3.2+3.3.3+4.3.4=87$

$<=>\sqrt{29}P \geq 3.29$

$<=>P \geq 3\sqrt{29}$

Dấu"="xảy ra <=>$a=b=c=1$

=> Min $P=3\sqrt{29}$ Đạt được khi$a=b=c=1$

Lớp 9

Bài 1: 

a) Tìm sô nguyên $a$ lớn nhất để số $T=4^{27}+4^{1016}+4^a$ là số chính phương

b) Giải phương trình : $\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}=2$

Bài 2

a) Về phía ngoài tam giác $ABC$ ta dựng các tam giác vuông đồng dạng vs nhau $ABE,ACF$ $\widehat{ABE}=\widehat{ACF}=90^{\circ}$. Chứng minh : $BE,CF$ với đường cao Ah của tam giác ABC đồng quy

b). Cho đường tròn tâm O. Dây cung BC khác đường kính. Lấy điêm $A$ trên cung lớn $BC$. Tìm vị trí điểm A để $AB+2AC$ max

Lớp 8

Bài 1.

a, Tìm sô nguyên $n$ để $n^2+3n+39$ và $n^2+n+37$ là số chính phương

b, Cho 2 số $x,y$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} x+y=1 & & & \\ x^3+y^3=a & & & \\ x^5+y^5=b & & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng : $5a(a+1)=9b+1$

Bài 2.

a. Cho hình vuông $ABCD$ điểm $E$ chạy trên $AB$. Phân giác góc $EDC$ cắt $BC$ tại $F$. Chứng minh rằng : $AE+CF=DE$

b. Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$. Hai điểm $M,N$ thay đôi với M thuộc AB, N thuộc AC sao cho $BM=CN$. Gọi $I,J$ trung điểm MN và BC. $IJ$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$

Chứng minh rằng : $\widehat{BEI}=\widehat{CFI}$

1b)

ĐK:$x\neq 0$ và $|x|<\sqrt{2}$  

Đặt:$\sqrt{2-x^2}=y$        $(y>0)$

$=>x^2+y^2=2$

=> Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=2 &\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2 \end{matrix}\right.$

Từ pt2 của hệ ta suy ra: $x+y=2xy$.Thế vào pt1 ta có: $xy=1$ hoặc $xy=\frac{-1}{2}$

*) Nếu $xy=1$ thì $x+y=2$.Giải ra,ta có:$\left\{\begin{matrix}x=1 & & \\y=1 & & \end{matrix}\right.$

*)Nếu $xy=\frac{-1}{2}$ thì $x+y=-1$.Giải ra, ta có: 

$\left\{\begin{matrix}x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2} & & \\y=\frac{-1-\sqrt{3}}{2} & & \end{matrix}\right.$ ;

$\left\{\begin{matrix}x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2} & & \\y=\frac{-1+\sqrt{3}}{2} & & \end{matrix}\right.$

Đối chiếu với ĐK và y>0=> Phương trình đã cho có 2 nghiệm:$x=1$;$x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$ 

DK: $a,b,c \neq 0$

Ta phải có:

$abc|(ab-1)(bc-1)(ca-1)$

$<=>abc|(abc)^2-abc(a+b+c)+ab+bc+ca-1$

$<=>abc|ab+bc+ca-1$       (*)

Không mất tính tổng quát,ta giả sử: $1\leq a\leq b\leq c$

Ta có:

$abc\leq ab+bc+ca-1 < ab+bc+ca < c(2a+b)$

$=>ab<2a+b\leq 3b=>a<3=> a\in \left \{ 1;2 \right \}$

Trường hợp 1:

*) $a=1$

=>Từ (*)$=>bc|bc+b+c-1=>bc|b+c-1$

$=>bc\leq b+c-1<=>(b-1)(c-1)\leq 0=>(b-1)(c-1)=0$ (vì $(b-1)(c-1)\geq 0$)

Với $a=1,b=1$ (hay $a=1;c=1$) ta có:

$A=0$ $\forall c\neq 0$ (hay $\forall b\neq 0$)

Do vai trò của a,b,c như nhau nên trong ba số a,b,c có hai số bằng 1 và 1 số nguyên dương tùy ý là đáp sô bài toán.  (**)

Trường hợp 2:

*) $a=2$

Từ (*)$=>2bc|2(b+c)+bc-1=>2bc|4(b+c)+2bc-2$

$=>2bc|4(b+c)-2=>bc|2(b+c)-1$

$=>bc\leq 2(b+c)-1=>(b-2)(c-2)\leq 3$

$=>(b-2)(c-2)\in \left \{ 0;1;2;3 \right \}$

a)Nếu $(b-2)(c-2)=0 $ => nếu $c=2$ thì $b=2$ ( vì $1\leq a\leq b\leq c$)

Khi đó: $A=\frac{3.3.3}{2.2.2}=\frac{27}{8}$  (loại)

Nếu $b=2$$=> A=\frac{3(2c-1)^2)}{4c}$ không là số nguyên => loại.

b) Nếu $(b-2)(c-2)=1$

=>Chỉ có thể là $b=c=3$

$=> A=\frac{25.8}{2.3.3}=\frac{100}{9}$ (loại)

c)Nêu $(b-2)(c-2)=2$

=> Chỉ có thể là $b=3$;$c=4$

$=> A=\frac{5.11.7}{2.3.4}=\frac{385}{24}$ (loại)

d)Nếu $ (b-2)(c-2)=3$

=>Chỉ có thể là $b=3$;$c=5$

$=> A=\frac{5.14.9}{2.3.5}=21$  (Nhận)

=> $a=2;b=3;c=5$

=> (a;b;c)=(2;3;5) và các hoán vị của chúng.                                   (***)

=>(**) và (***) là đáp số cần tìm.

 

ờ nhỉ??? nhìn lầm, nếu mà như thế thì có thể thêm TH là $a=b=c$ và $a=b< c$ là ọk. Nhưng mà đề này đúng là phải tìm tất cả các số tự nhiên đôi một khác nhau mới đúng.

P/s : Nằm trong đề thi HSG tỉnh lớp 9 , hôm qua mới làm xong. ^^

Nếu là đôi một khác nhau thì cũng là đề thì hsg tỉnh lớp 9 năm ngoái của Hà Tĩnh luôn!!

Nếu nói là số tự nhiên thì ta cũng có thể xét $1\leq a\leq b\leq c$.Nhưng hơi dài!!

Câu 1. (3đ)

a) Cho $a=11...11$ (2012 chữ số 1) và $b=100...05$ (2011 chữ số 0) . Chứng minh rằng : $ab+1$ là số chính phương

b) Chứng  minh rằng : $A = 6.5^{2n}+13.6^{n}$ chia hết cho 19 (với mọi sô tự nhiên $n$ )

Câu 2. (4đ)

a) Cho $a$ là nghiệm dương của phương trình $x^4-7x^2+1=0$  . Tính giá trị của biểu thức : $P=a^3+\frac{1}{a^3}$

b) Cho $a=xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)};b=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}$. Chứng minh rằng  : $\sqrt{a^2-1}=\left | b \right |$

Câu 3. (4đ) Giải phương trình : 

a) $x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=8$ $\left ( x\neq -1 \right )$

b) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x-16+2\sqrt{2x^2+5x+3}$$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x-16+2\sqrt{2x^2+5x+3}$

Câu 4. (7đ) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ $\widehat{BAC}<90^{\circ}$, kẻ đường cao $AH$. Lấy 1 điểm $M$ trên $BH$ / Từ $M$ kẻ $MD,ME$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$ 

a) Gọi $O$ là trung điêm $AM$. CMR : $OH\perp DE$

b) Giả sử $K$ là giao điểm của $ME$ và $AH$. Gọi $I$ là trung điểm của $CK$. Cmr : $\widehat{OEI}$ cố định

c) Xác định vị trí điểm $M$ để tứ giác $ODHE$ có diênmj tích lớn nhất, nhỏ nhất ?

Câu 5. (2đ) 

a) Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $2a+b=1$. Tìm min : 

$P=\frac{2}{ab}+\frac{5}{4a^2+b^2}$

b) Cho $x,y$ là các số thực dương. Tìm min : $Q=\frac{x+y}{\sqrt{x(3x+2y)}+\sqrt{y(2y+3x)}}$

Câu 3a)

Phương trình đã cho <=> $\left ( x-\frac{x}{x+1} \right )^2+2\frac{x^2}{x+1}=8$

$<=>\left ( \frac{x^2}{x+1} \right )^2+2\frac{x^2}{x+1}-8=0$

$<=>\frac{x^2}{x+1}=2$ hoặc $\frac{x^2}{x+1}=-4$

Với:$\frac{x^2}{x+1}=2<=>x^2-2x-2=0<=>x=1+\sqrt{3}\vee x=1-\sqrt{3}$ 

Với:$\frac{x^2}{x+1}=-4<=>x^2+4x+4=0<=>x=-2$

=> Phương trình đã cho có nghiệm: $x=1+\sqrt{3}$;$x=1-\sqrt{3}$ và $x= -2 $

Hãy khởi động topic và forum BDT nào:
Bài 18: (THCS) Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :
$ A=ab+2bc+3ac.$

Bài 19: (THCS) CMR: $(\dfrac{4a}{b+c}+1)(\dfrac{4b}{a+c}+1)(\dfrac{4c}{a+b}+1)>25$

Bài 20: (THPT).Với $a,b,c$ la các số hữu tỉ. CMR:
$ (1+\dfrac{b-c}{a})^{a}+(1+\dfrac{c-a}{b})^{b}+(1+\dfrac{a-b}{c})^{c} \leq 1$

Bài 21 (THCS): Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$. Tìm GTLN:
$A=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Bài 22( THPT): CMR:
$2(\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}})$ $\geq \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+ca+a^{2}}$

P\s: ai làm bài nào thì phải trích nguyên văn bài đó ra cho dễ nhìn nhé.

Bài 21:

Áp dụng các BĐT sau: 

$a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)};a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

Dấu"=" xảy ra <=> $a=b=c$

Ta có:

$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\leq \sqrt{2(1+x^2+2x)}=\sqrt{2}(x+1)$             (1)

Tương tự ta có:

$\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\leq \sqrt{2}(y+1)$                     (2)

$\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\leq \sqrt{2}(z+1)$                       (3)

Ta lại có:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3(x+y+z)}$

$<=>3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leq 3\sqrt{3(x+y+z)}$       (4)

Cộng vế theo vế (1),(2),(3) và (4) ta được:

$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}+\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leq\sqrt{2}(x+1)+\sqrt{2}(y+1)+\sqrt{2}(z+1)+3\sqrt{3(x+y+z)}$

$<=>\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leq 3\sqrt{2}+9$

Dấu "=" xảy ra <=>$ x=y=z=1$

=>Max A = $3\sqrt{2}+9$ đạt được <=> $x=y=z=1$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1.$ Tìm Min $A=\frac{x^2(y+z)}{yz}+\frac{y^2(z+x)}{zx}+\frac{z^2(x+y)}{xy}.$

Ta có:

$\sum \frac{x^2(y+z)}{yz}\geq \sum \frac{2x^2\sqrt{yz}}{yz}$

$<=>\sum \frac{x^2(y+z)}{yz}\geq \sum \frac{2x^2}{\sqrt{yz}}\geq \sum \frac{4x^2}{y+z}$

$<=>\sum \frac{x^2(y+z)}{yz}\geq \sum \frac{4x^2}{y+z}\geq \frac{(2x+2y+2z)^2}{2(x+y+z)}=2$

$<=>\sum \frac{x^2(y+z)}{yz}\geq 2$

Dấu "=" xảy ra $<=>x=y=z=\frac{1}{3}$

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+3=4x &\\x^3+y^3+12x=6x^2+9 \end{matrix}\right.$

$Pt2+3.Pt1=x^3+y^3+12x+3x^2+3y^2+9=6x^2+9+12x$

$<=>x^3+y^2-3x^2+3y^2=0$

$<=>(x+y)(x^2-xy+y^2+-3x+3y)=0$

$<=>x+y=0$ hoặc $x^2-xy+y^2-3x+3y=0$

Đế đây bạn tự giải tiếp nha !!

Tìm n là số tự nhiên sao cho $\left\{\begin{matrix} 2n+2003=a^2 & \\ 3n+2005=b^2 & \end{matrix}\right.$ với $a^2$ và $b^2$ là số chính phương

$2n+2003=a^2$           

$3n+2005=b^2$           (a,b thuộc N)           

Ta có: 

$3a^2-2b^2=6n+6009-6n-4010=1999<=>3a^2-2b^2=1999$      (*)

Dễ thấy:$a^2$ là số lẻ => $a$ là số lẻ

Đặt: $a=2x+1$ (x thuộc Z)

Từ (*) ta có:$3(2x+1)^2-2b^2=1999<=>12x^2+12x+3-2b^2=1999$

$<=>2b^2=12x^2+12x-1996$

$<=>b^2=6x^2+6x-988<=>b^2=6x(x+1)-988$

Vì $x(x+1)$ chia hết cho 2=>$6x(x+1)$ chia hết cho 4

Mà 988 chia 4 dư 2

=> $b^2$ chia cho 4 dư 2 ( vô lý)

Vì ta đã biết: Mọi số chính phương lớn hơn 1 khi chia cho 4 thì hoặc là chia hết hoặc là dư 1

=>Không có n nào thỏa mãn.

ux³+py³=14

ux²+py²=5

ux+py=2

u+p=1

 

Dễ thấy$x=-y$ không phải là nghiệm của hệ đã cho=> $x+y\neq 0$

$u+p=1$     (1)

$ux+py=2$     (2)

$ux^2+py^2=5$     (3)

$ux^3+py^3=14$      (4)

Ta có:

$(x+y).(2)=2(x+y)<=>ux^2+py^2+xy(u+p)=2(x+y)<=>5+xy=2(x+y)$       (*)

$(x+y).(3)=5(x+y)<=>ux^3+py^3+xy(ux+py)=5(x+y)<=>14+2xy=5(x+y)$      (**)
Từ  (*) và (**) ta tìm ra được:

TH1:$x+y=4$

        $xy=3$

=> $x=1;y=3$ hoặc $x=3;y=1$ Thế vào (1) (2) và (3) và (4) tìm ra u và p.
TH2:$x+y=3$

       $xy=4$

=> VN vì $(x+y)^2< 4xy$

a)Cho $a,b>0$ và $a^{5}+b^{5}=a^{3}+b^{3}$. Chứng minh $a^{2}+b^{2}\leq 1+ab$

 

b)Cho $0< a,b,c< 1$. Chứng minh có ít nhất một trong các bđt sau là sai: 

•    $a(1-b)> \frac{1}{4}$
•    $b(1-c)> \frac{1}{4}$
•    $c(1-a)> \frac{1}{4}$

 

Mong mọi người giúp giùm 2 bài này. 

b) 

Từ:

$a(1-b)> \frac{1}{4}$

$b(1-c)> \frac{1}{4}$

$c(1-a)> \frac{1}{4}$

$a(1-a)b(1-b)c(1-c)> \frac{1}{64}$

Vì $0<a,b,c<1$=> $(1-a),(1-b),(1-c)$ dương

Áp dụng BDT Cô-si ta có: 

$a(1-a)\leq \left ( \frac{a+1-a}{2} \right )^2=\frac{1}{4}$

Tương tự: 

$b(1-b)\leq \frac{1}{4}$

$c(1-c)\leq \frac{1}{4}$

$=>a(1-a)b(1-b)c(1-c)\leq \frac{1}{64}$

=> Ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức ban đầu là sai.

Bài 1:Phân tích đa thức thành nhân tử:
$x^{4}.(y-z)+y^{4}.(z-x)+z^{4}.(x-y)$

 

Bài 2: Giải phương trình:
 

$(\frac{x+3}{x-2})^{2} +6.(\frac{x-3}{x+2})^{2} -7.(\frac{x^{2}-9}{x^{2}-4})$

Bài 2: 

ĐK: $x\neq \pm 2$

Đặt: $\frac{x+3}{x-2}=a\vee \frac{x-3}{x+2}=b$

Ta có pt:$a^2+b^2-7ab=0<=>(a-b)(a-6b)=0$<=>$\left\{\begin{matrix}a-b=0 & & \\a-6b=0 & & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix}a=b & & \\a=6b & & \end{matrix}\right.$

Với $a=b=>\frac{x+3}{x-2}=\frac{x-3}{x+2}=>10x=0<=>x=0$

Với$a=6b=>\frac{x+3}{x-2}=6.\frac{x-3}{x+2}=>x^2-7x+6=0$

<=>$x=1$ hoặc $x=6$

=> Pt đã cho có  các nghiệm $x=0$,$x=1$ và $x=6$

Cho a, b, c không âm thỏa mã a+b+c=1 tìm Min:

$A=(1+a^{2})+(1+b^{2})+(1+c^{2})$

Ta có: $A=3+a^2+b^2+c^2$

Theo BDT Bunhiacopski ta có: $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2<=>a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{3}$

=> $A=3+a^2+b^2+c^2 \geq 3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$

Dấu"=" xảy ra <=>$a=b=c=\frac{1}{3}$

=> Min $A=\frac{10}{3}$<=> $a=b=c=\frac{1}{3}$

Cho hai số thực a,b thay đổi thỏa mãn $a+b\geq 1 ; a>0$ : 

Tìm giá trị nhỏ nhất của : P=$\frac{8a^{2}+b}{4a}+b^{2}$

$P=2a+\frac{b}{4a}+b^2$

Mà:

$a+b \geq 1<=>b \geq 1-a$=> $P\geq 2a+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}+b^2$$

$=a+\frac{1}{4a}+a+b^2-\frac{1}{4}$

Mà: $a+b\geq 1<=> a\geq 1-b$

$P\geq a+\frac{1}{4a}+b^2-b+\frac{3}{4}=a+\frac{1}{4a}+b^2-b+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$

Áp dụng Bất Đẳng Thức Cô-si:

$=> P >= 2+\left ( b-\frac{1}{2} \right )^2+\frac{1}{2}$

$<=> P \geq \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra <=>$a=b=\frac{1}{2}$

Đề không sai.Chỉ là chưa nghĩ ra cách giải thôi!