tank06536

Cho a;b;c;d $\epsilon$ R thỏa mãn a+b+c+d=1.CMR
(a+c)(b+d)+2ac+2bd$\leq$$\frac{1}{2}$

$2(ab+bc+cd+ad+2ac+2bd)=2[a(b+c)+d(b+c)+c(a+b)+d(a+b)]=2(b+c)(a+d)+2(a+b)(c+d)\leq \frac{(a+b+c+d)^2}{2}+\frac{(a+b+c+d)^2}{2}=1$  

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}$

Lâu rồi không ghé vào TOPic , thấy người LIKE khá nhiều , đứng TOP 9 của 4RUM , nên mình post tiếp một số bài tập , ai quan tâm thì vào làm nhé !!

BT$1$ : Cho $a,b,c> 0,a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :

$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 2$

BT$2$ : Với $a,b,c> 0,ab+bc+ca=1$ . Chứng minh 

$(1-a)(b^2+c^2)+(1-b)(c^2+a^2)+(1-c)(a^2+b^2)\geq 2-6abc$ (*)

BT2

ap dung bdt cauchy

(*)$\geq (1-a)2bc+(1-b)2ca+(1-c)2ab =2-6abc$(đpcm)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

 

 $(x+\sqrt{x^{2}+2007})(y+\sqrt{y^{2}+2007})=2007$

$\Leftrightarrow \frac{2007^{2}}{(\sqrt{x^{2}+2007}-x)(\sqrt{y^{2}+2007}-y)}=2007$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+2007}-x)(\sqrt{y^{2}+2007}-y)=2007$

Nên $\left\{\begin{matrix}(x-\sqrt{x^{2}+2007})(y-\sqrt{y^{2}+2007})=2007 & \\  (x+\sqrt{x^{2}+2007})(y+\sqrt{y^{2}+2007})=2007& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow xy+(\sqrt{x^{2}+2007})(\sqrt{y^{2}+2007})=2007$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+2007})(\sqrt{y^{2}+2007})=2007-xy$

$\Leftrightarrow 2007(x^{2}+y^{2})=-4014xy$

$\Leftrightarrow (x+y)^{2}=0$ $\Leftrightarrow x+y=0$

Không biết đúng không nữa

 

dung roi (ban nên sửa lại các lỗi latex nhé )

Đây là bài toán THCS nên các bạn làm ơn đừng dùng kí hiệu $\sum$ , $\prod$ được ko

Khó hiểu quá

mình xin giải câu 4

Đặt biểu thức cần cm là P

        $a=\frac{1}{x}$, $b=\frac{1}{y}$, $c=\frac{1}{z}$

ta có $3x+2y+z=\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{36}{3a+2b+c}$

tương tự $3y+2z+x\geq \frac{36}{3b+2c+a}$

$3z+2x+y\geq \frac{36}{3c+2a+b}$

$P\leq \frac{3a+2b+c}{36} +\frac{3b+2c+a}{36}+\frac{3c+2a+b}{36}=\frac{6(a+b+c)}{36}$

Do $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=12 \Rightarrow a+b+c=12$

$\Rightarrow P\leq \frac{6.12}{36}=2$

dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{4}$ 

ĐK $x\geq 9$

$P=\frac{6\sqrt{x-9}}{30x}\leq \frac{9+x-9}{30x}=\frac{1}{30}$

max P=1/30 $\Leftrightarrow 3=\sqrt{x-9}\Leftrightarrow x=18$

xem thử cách của mình 

Đặt biểu thức cần cm là  P

ta có $P= \frac{8}{8xyz}+\frac{8}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

mà $(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=3(x+y+z)-xyz$

      $(xy+yz+zx)^{2}\geq 3xyz(x+y+z)\Leftrightarrow \frac{9}{xyz}\geq 3(x+y+z)\Rightarrow 3(x+y+z)\leq 9$

      $3=xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\Rightarrow xyz\leq 1$

       $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)=\frac{8}{3}(x+y+z)\geq \frac{8}{3}.\sqrt{3(xy+yz+zx)}=8$

$P\geq \frac{32}{3(x+y+z)+7xyz}-\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{32}{9+7}-\frac{4}{8}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ (ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

mình mới học THCS thôi nên làm cách hơi dài thông cảm

Cho x,y,z dương và $x+y\leq z$   Chứng minh

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

đây là công thức tính đường trung tuyên AM mà 

$AM^{2}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{2}-\frac{BC^{2}}{4}$

kẻ AH vuông góc với BC 

theo Py-ta-go ta được 

VT= $\frac{2AH^{2}+BH^{2}+HC^{2}}{2} -\frac{BC^{2}}{4}$$=AH^{2}+\frac{(HB+HC)^{2}}{2}-HB.HC-\frac{BC^{2}}{4}$=$=AH^{2}+\frac{BC^{2}}{2}-HB.HC-\frac{BC^{2}}{4}=AH^{2}+\frac{BC^{2}}{4}-HB.HC$ 

mà $HB.HC=(MC-HM)(MC+HM)=MC^{2}-HM^{2}$

=> VT$=AH^{2}+\frac{BC^{2}}{4}-MC^{2}+HM^{2}$$=AH^{2}+MC^{2}-MC^{2}+HM^{2}=AH^{2}+HM^{2}$

VP$=AH^{2}+HM^{2}$

=> VT=VP 

ta có đpcm

đây là công thức tính đường trung tuyên AM mà 

$AM^{2}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{2}-\frac{BC^{2}}{4}$

Cho $a+b\neq0$

Cm: $a^{2}+b^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}\geq 2$

Bài này bài cuối thi HSG cấp trường 0,5 đ không làm được cmn

tham khao thu cach nay nhe

đặt B= a^{2}+b^{2}+ (\frac{ab+1}{a+b})^{2}

B= a^{2} +b^{2}+2ab +$(\frac{ab+1}{a+b})^{2} -2ab$ =$(a+b)^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}-2ab$

áp dụng bdt cauchy ta đc

B$\geq 2\sqrt{(a+b)^{2}(\frac{ab+1}{a+b})^{2}}$ -2ab = 2(ab+1)-2ab =2 (đpcm)