gatoanhoc1998

Ta có:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$

Mặt khác:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

do đó:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)

Ta xét:

$x=1\Rightarrow y=1$

Với x>1 ta có:

Nếu x lẻ thì $3\equiv -1(mod 4)\Rightarrow 3^{x}-1\equiv -2(mod 4)$

Mặt khác $2^{x}\vdots 4$ (mâu thuẫn)

do đó x phải chẵn

Với x chẵn,3 và 1 là các số lẻ ta có:

   $v2(3^{x}-1)=v2(3-1)+v2(3+1)+v2(x)-1=v2(x)+2$ 

   suy ra $v2(x)+2\geq x$ (theo gt :$3^{x}-1=2^{x}y$)

    suy ra $x\geq 2^{x-2}$

     $\Rightarrow x\in \left \{ 1;2;3;4 \right \}$

Thử lại chỉ có x=1;2;4 thoả

Vậy pt có 3 nghiệm nguyên dương (x;y) là (1;1) , (2;2) và (4;5) 

câu c:

Theo kinh nghiệm thì giữ nguyên vị trí rubik (g/s :mặt a là mặt đối diện,mặt trên là mặt b,mặt phải là mặt c, quy định chiều thay đổi góc theo chiều kim đồng hồ(+))

 Thực hiện liên tiếp dãy lệnh sau,kèm theo phải giữ mặt a đối diện :

   {c+,b-}

Mình nhớ là khoảng 20-30 lần là xong.

Chỉ ra trực tiếp như vậy có được không vậy?

Ta có:

 $x0^{2}=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3(4-(2+\sqrt{3}))}=8-\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)-\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)=8-4\sqrt{2}$

Do đó:

$x0^{4}=96-64\sqrt{2}\Rightarrow x0^{4}-16x0^{2}+32=0$

Vậy x0 là nghiệm của pt

$x^{4}-16x^{2}+32=0$

P/s:Hình như đề nó sai ở dấu + thì phải 

Câu 1:

Do x>0 nên đặt y=kx

Biểu thức đã cho trở thành:

$\frac{k}{1+k}+\frac{2k^{2}}{1+k^{2}}+\frac{4k^{4}}{1+k^{4}}+\frac{8k^{8}}{1-k^{8}}=4$

Nhân 2 vế với $1-k^{8}$ có :

pt có nghiệm dương k=4/5

suy ra dpcm

từ pt (1) có:

$a^{2}sinBcosB+b^{2}sinAcosA=2abcosAcosB$

suy ra $\frac{a}{b}\frac{sinB}{cosA}+\frac{b}{a}\frac{sinA}{cosB}=2$ (3)

từ pt (2) có:

$\frac{cosA}{sinB}+\frac{cosB}{sinA}=2$ (4)

Đặt:

$\frac{cosA}{sinB}=x , \frac{cosB}{sinA}=y$

Từ (3) và (4) kết hợp Cauchy ta có a=b

thay lại vào (4) có cosA=sinA suy ra A=B=$\frac{\pi }{4}$

vậy $\Delta ABC$ vuông cân tại C

P/S: Đề nghị cấm spam=)

xét x=0 thì y=0 hoặc y=1

xét y=0 thì x=0 hoặc x=-1

xét x và y đều khác 0

đăt d=(x;y)$\Rightarrow$ x=dx₁ và y=dy₁ với (x1,y1)=1

Lúc đó biểu thức đã cho tương đương với:

$(d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1)(d^{2}x1^{2}+dx1-dy1)=(d^{3}x1^{3}-d^{2}x1y1+1)(d^{2}y1^{2}+dx1-dy1)$

Đặt k=($d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1,d^{3}x1^{3}-d^{2}x1y1+1$)

suy ra k/$d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1+d^{3}x1^{3}-d^{2}x1y1+1$

hay $k/d^{3}(x1^{3}+y1^{3})$

suy ra k/d hoặc k/$x1^{3}+y1^{3}$

TH1:Nếu k/d thì

$k/d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1$

$\rightarrow k=1$

$\Rightarrow d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1=d^{2}y1^{2}+dx1-dy1$

suy ra d=1 từ đó ta có hệ 2 pt:

      $y^{3}+xy-1=y^{2}+x-y$ (1)

      $x^{3}-xy+1=y^{2}+x-y$  (2)

suy ra x=y=1

Th2:tương tự.

Vậy S={(0;0);(-1;0);(0;1);(1;1)}

$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}$

$\Rightarrow x+y\leq 24$

lập bảng thử các số chính phương ta có:

(x,y)=(9;16) hoặc (x,y)=(16;9)

sau đó KL nghiệm