kimchitwinkle

.

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$P=(\frac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y})+(\frac{y}{\sqrt{x} }+\sqrt{x})-(\sqrt{x}+\sqrt{y})\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})-(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y} })-(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

CTV: $2P\ge\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge \frac{2}{\sqrt[4]{xy}}\ge \frac{2}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=2\sqrt{2}$

nên: $P\ge \sqrt{2}$

Chả biết đúng hay sai nữa :3

Lời giải này giống trong những viên kim cương nên chắc đúng rồi

Giải HPT

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+2xy^{2}+12y=0\\x^2+8y^2=12 \end{matrix}\right.$

Thay $12=x^{2}+8y^{2}$ vào PT đầu ta có :

$x^{3}+2xy^{2}+x^{2}y+8y^{3}=0<=>(x+2y)(x^{2}+2xy+4y^{2})+xy(x+2y)=0<=>(x+2y)(x^{2}+3xy+4y^{2})=0$

Đến đây dễ rồi

Biết phương trình x^2 -2mx +2m -3 =0 có 2 nghiệm là x1 , x2 mà  x1^2 + x2^2 = 5 . Tính tổng 2 nghiệm của phương trình 

AD định lí Vi ét :

 $\left\{\begin{matrix} x_{1} +x_{2}=2m& & \\ x_{1} x_{2}=2m-3& & \end{matrix}\right.$

Theo bài ra : $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=5<=>(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=5<=>4m^{2}-4x+1=4 <=>(2m-1)^{2}=0 <=>m=\frac{1}{2}$

Vậy $x_{1}+x_{2}=2.\frac{1}{2}=1$

1. cho a,b,c,d  sao cho ab=1;cd=1
C/m :$(a+b)(c+d)+4\geqslant 2(a+b+c+d)$
2. cho a,b,c,d dương thoar abc=1
C/m$\frac{a^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{b^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{c^3}{(c+1)(a+1)}\geqslant \frac{3}{4}$

2/ Ta có : $\frac{a^{3}}{(a+1)(b+1)}+\frac{a+1}{8}+\frac{b+1}{8}\geq \frac{3a}{4}$

Tương tự : $\frac{b^{3}}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\geq \frac{3b}{4}$

                  $\frac{c^{2}}{(c+1)(a+1)}+\frac{c+1}{8}+\frac{a+1}{8}\geq \frac{4c}{4}$

Cộng từng vế ta được :

 $\sum \frac{a^{3}}{(a+1)(b+1)}\geq \frac{a+b+c}{4}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{4}=\frac{3}{4}$

nhưng là pt bậc 4 và không được sử dụng máy tính

có phương pháp giải PT bậc 4 tổng quát bạn chịu khó lên mạng xem nhé

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (xy+2y^{2})(x+2)=-6 & \\ x(y+1)=-1 & \end{matrix}\right.$

Rút x từ PT dưới rồi thế vào PT trên

Dùng định lí Vi et bậc 3

Giải phương trình:

$\left\{\begin{matrix} & x+y+z=1 & \\ & x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 & \\ & x^{3}+y^{3}+z^{3}=1& \end{matrix}\right.$

ĐÂY 

Giải phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}=4 & \\x+xy+y=2 & \end{matrix}\right.$

Hệ <=> $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}-xy=4 & & \\ x+y+xy=2 & & \end{matrix}\right.$

Đặt : $x+y=a$ ; $xy=b$

Ta được : $\left\{\begin{matrix} a^{2}-b=4 & & \\ a+b=2 & & \end{matrix}\right.$

Cộng từng vế : $a^{2}+a-6=0<=>(a+3)(a-2)=0$

Với $a=-3$ => $b=5$

Với $a=2$ => $b=0$

Từ đó ta tìm được $x,y$

Bài 1 : Giải phương trình : $x^{2}+\sqrt{x+2004}=2004$

Bài 2 : Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}+y^{2})=5 & \\ (x-y)(x^{2}-y^{2})=3 & \end{matrix}\right.$

Bài 3 : Tìm nghiệm nguyên của hệ : $\left\{\begin{matrix} 2y^{2}-x^{2}-xy+2y-2x=7 & \\ x^{3}+y^{3}+x-y=8 & \end{matrix}\right.$

bài 1:đk $x\geq -2004$ 

đặt $\sqrt{x+2004}=a(a\geq 0)$

Ta có hệ : $\left\{\begin{matrix} x+2004=a^{2} & & \\ x^{2}+a=2004& & \end{matrix}\right.$

đến đây dễ rồi

Câu 4 :

$x^{3}+y^{3}=3<=>(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=2$

Vì $x+y$ nguyên nên $x^{2}-xy+y^{2}$ nguyên

còn lại bạn tự làm nhé

Bài 1: Cho x,y,z thuộc [0;1]. Chứng minh: $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}$

Bài 2: cho x,y,z thuộc [-1;3] và x+y+z=3. chứng minh: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 11$

bài 1 chứng minh gì thế bạn 

1) Vì $2003 \equiv 2 \pmod{2}$ 
Nên xảy ra các TH sau đây : 
Một số chia $3$ dư $1$ ,$2$ số còn lại chia $3$ dư $2$ 
Giả sử $x=3k+1,y=3m+2,z=3p+1$ 
Khi đó $VT \equiv 8 \pmod{9}$ Hay $2003 \equiv 8 \pmod{9}$ (vô lí) 
Một số chia $3$ dư $0$ , $2$ số còn lại chia $3$ dư $1$ 
Tương tự như vậy ta cũng được $VT \equiv 2 \pmod{9}$ 
Hay $2003 \equiv 2 \pmod{9}$ (vô lí) 
Vậy pt vô nghiệm

2) Xét $y=0 \Rightarrow x$ vô nghiệm 
Xét $y>0$ nếu $x$ lẻ thì $2^{y}=2^{2k+1} \equiv 2 \pmod{3}$ 
Do đó $x$ chẵn . Đặt $y=2k$ 
PT $\Leftrightarrow (2^k-1)(2^k+1)=3^x$ 
Suy ra $\begin{cases} &2^k-1=3^m&\\&2^k+1=3^n& \end{cases}$ 
Suy ra $3^n-3^m=3^m.(3^{n-m}-1)=2$  
Suy ra $m=0$ tìm được $k=1$ 
Vậy $x=1,y=2$