Hoang Long Le

 Cho các số thực $a,b,c$ không âm. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{a}{4b^2+bc+4c^2}+\dfrac{b}{4c^2+ca+4a^2}+\dfrac{c}{4a^2+ab+4b^2}\geq \dfrac{1}{a+b+c}$$

          SỞ GD&ĐT LONG AN                                                                 KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12

                                                                                                                      VÒNG 2 NĂM 2015

                                                                                                             Môn thi : TOÁN

                                                                                                             Ngày thi : 05/11/2015 ( Buổi thi thứ nhất )

                                                                                                                Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

 Câu 1 (5,0 điểm)

          a) Giải bất phương trình $\sqrt{2x^2-4x+6}-\sqrt{2x-1}>x-2$

          b) Giải hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix} 2y^3+y+2x\sqrt{1-x}-3\sqrt{1-x}=0\\ \sqrt{9-4y^2}=2x^2+6y^2-7 \end{matrix}\right.\ x,y\in \mathbb{R}$

 Câu 2 (5,0 điểm)

         Cho dãy số $(u_n)$ được xác đinh bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=2\\u_2=3\\ u_n=nu_{n-1}-(n-2)u_{n-2}-2n+4,\ \forall n\geq 3 \end{matrix}\right.$

         a) Tìm số hạng tổng quát của dãy $(u_n)$

         b) Tìm số dư khi chia $u_{2016}$ cho 2015

 Câu 3 (5,0 điểm)

         Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(1;1)\ ,\ B(2;5)\ ,\ C(4;7)$.

         Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ sao cho tổng khoảng cách từ $B$ và $C$ đến $d$ là lớn nhất

 Câu 4 (5,0 điểm)

Cho số nguyên dương $R$ và một bảng hình chữ nhật chia thành $20\times 15$ ô vuông. Những nước đi được thực hiện trên bảng như sau : ta chuyển từ một ô vuông này đến môt ô vuông kia khi khoảng cách giữa hai tâm của hai ô vuông đó bằng $\sqrt{R}$. Bài toán đặt ra là làm sao có thể tìm được một dãy các nước đi để chuyển từ ô này sang ô kia, mà hai ô đó nằm ở hai góc kề nhau của bảng, hai góc đó nằm trên cùn một chiều dài của bảng hình chữ nhật nói trên.

         a) Bài toán có giải quyết được không khi $R$ chia chết cho 2 hoặc cho 3? Tại sao ?

         b) Bài toán có giải quyết được không khi $R=73$ ? Tại sao ? Hãy tìm dãy các nước đi nếu bài toán giải được.

------------- HẾT --------------

          SỞ GD&ĐT LONG AN                                                                 KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12

                                                                                                                       VÒNG 2 NĂM 2015

                                                                                                             Môn thi : TOÁN

                                                                                                             Ngày thi : 06/11/2015 ( Buổi thi thứ hai )

                                                                                                                Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

 Câu 5 (5,0 điểm)

Cho hai đa thức với hệ số thực $f(x)=7776x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ và $g(x)=6x^2+11x+2015$. Biết rằng phương trình $f(x)=0$ có 5 nghiệm phân biệt và phương trình $f(g(x))=0$ không có nghiệm thực. Chứng minh rằng $\sqrt[10]{f(2015)}>\dfrac{11}{2}$          

 Câu 6 (5,0 điểm)

          Với mỗi số tự nhiên $k>0$, số $(2+\sqrt{5})^{2k}$ luôn viết được dưới dạng $a_k+b_k\sqrt{5}$ với $a_k,b_k$ là các số nguyên dương         

          a) Tìm hệ thức xác định dãy $(a_k),(b_k).$

          b) Chứng minh $20b_kb_{k+1}+16$ là số chính phương.

          c) Chứng minh $a_{k+2}^2-1$ chia hết cho 5.

 Câu 7 (5,0 điểm)

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có hai đường chéo không vuông góc với nhau, nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E$ là điểm di chuyển trên cung $AB$ không chứa $C,D$. Gọi $M$ là giao điểm của $ED$ với $AC$, $N$ là giao điểm của $EC$ với $BD$. $(AEM)$ và $(BEN)$ cắt nhau tại giao điểm thứ hai $F$, Chứng minh rằng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định. 

------------- HẾT --------------

   Nguồn : Facebook

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng

$$\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}\geq a+b+c+3$$

 Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác và $x,y,z$ là các số thực bất kì thoả mãn $x+y+z=0$. Chứng minh :

$$a^2xy+b^2yz+c^2zx\leq 0$$