Changg Changg

Cố định $n$. Giả sử $m$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $2^n-1\mid 2^m+1$. Dễ thấy $m\geqslant n$

Nếu $m=n$ thì $2^n-1\mid 2^n+1\Leftrightarrow 2^n-1\mid 2$ vô lý.

Suy ra $m>n$ và $2^{n}-1\mid 2^{m}+2^{n}$ nên $2^{n}-1\mid 2^{m-n}+1$ vô lý vì $m-n<m$

Bài 1. Ta viết lại phương trình: $(x^2+a)^2=(2a-4)x^2+12x+a^2-3$

Ta tìm $a$ sao cho vế phải là bình phương đúng, nghĩa là $a$ phải thỏa mãn: $(a^2-3)(a-2)=18$

Giải cái này dễ nhưng thế vào không dễ.

Bài 2. Thấy rằng $x\geqslant 1$ hoặc $x\leqslant -1$ đều không thỏa phương trình, do đó $|x|\leqslant 1$, đặt $x=\cos t$ với $t\in [0, \pi]$

Phương trình trở thành: $\cos 3t=\cos \dfrac{\pi}{3}$ hay $t=\dfrac{\pi}{9} +\dfrac{2}{3}k\pi$

Thay vào ta được nghiệm: $x=\cos \dfrac{\pi}{9}, x=\cos \dfrac{7\pi}{9}, x=\cos \dfrac{13\pi}{9}$

Em thử chứng minh bất đẳng thức đó xem

Chuẩn hóa $\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}=3$ và đặt $x=\sqrt[4]{a}, y=\sqrt[4]{b}, z=\sqrt[4]{c}$ thì $x^3+y^3+z^3=3$ và bất đẳng thức trở thành:

\[x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4\leqslant 3\]

Bài này chắc ai cũng giải được.

Giả sử tồn tại số tự nhiên lẻ $n$ sao cho $n^{11}+199$ là số chính phương.

Khi đó tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $n^{11}+199=m^2$

Bài 2. Xét $p$ chẵn ta thu được $x=y=1, p=2$

Xét $p$ lẻ. Ta có $y^p+1=p^x$ nên $p\mid y+1$ nên $x-1=v_{p}(y+1)$

Do đó $y+1=p^{x-1}$ và $y^{p-1}-y^{p-2}+..-y+1=p$\\

Thấy rằng $y=1$ không thỏa, $y=2$ ta có nghiệm $x=y=2, p=3$

Nếu $y>2$ thì $y^{p-1}-y^{p-2}+..-y+1>y+1=p^{x-1}$ nên $x=1$ dẫn đến $v_{p}(y+1)=0$ vô lý.

$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3\left(a+b+c\right)^5\geqslant \left(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}\right)^8$

Do đó ta cần chứng minh: $\left(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}\right)^8\geqslant 3^5\left(ab+bc+ca\right)^3$

Đây là một bất đẳng thức của Vasile nên ta có điều phải chứng minh.

Bạn có thể trình bày ra được không?

Bất đẳng thức $(a+b)^3\leqslant 4(a^3+b^3)$ đúng nếu $a+b\geqslant 0$

Trường hợp $\sqrt[3]{8x^2+8xy-4x+1}+\sqrt[3]{8x^2+8xy-4y+1}\leqslant 0$ thì $VT_{(1)}\leqslant 0< VP_{(1)}$

Trường hợp $\sqrt[3]{8x^2+8xy-4x+1}+\sqrt[3]{8x^2+8xy-4y+1}\geqslant 0$ thì làm y như cách làm của mình ở trên là ra nghiệm $x=\dfrac{-1}{2}, y=1$

Cho $a=3x, b=-2x, c=-x$ ta được $P(27x^3)+P(-8x^3)+P(-x^3)=3P(6x^3)$

Đồng nhất hệ số đầu tiên ta được: $27^n+(-8)^{n}-3.6^n+(-1)^n=0\Leftrightarrow n=1$ (Chia cả hai vế cho $27^n$ rồi xét $n$ chẵn $n$ lẻ)

Do đó $P(x)=ax+b$. Thử lại thỏa mãn.

Thay kết quả ở trên vào phương trình hai ta được $2(1+2x)\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{4x^2+3}=1$

Liên hợp nghiệm $2x+1=0$ nên $y=1$ không thỏa. Hệ vô nghiệm.

Có $8x^2+8xy-4x+1, 8y^2+8xy-4y+1>0$ nên $\sqrt[3]{8x^2+8xy-4x+1}+\sqrt[3]{8y^2+8xy-4y+1}\leqslant \dfrac{8(x+y)^2-4(x+y)+6}{3}$

Mà $\dfrac{4(x+y)^2+5}{3}+2(2x+2y-1)^2-\dfrac{8(x+y)^2-4(x+y)+6}{3}=\dfrac{5}{3}(2x+2y-1)^2\geqslant 0$ nên ...

Thấy rằng ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $c=0$ hay chứng minh: $a^3+b(b-2a)^2\geqslant 0$ luôn đúng.

Giả sử $S(n)$ là số bài tập Hoa đã làm được từ ngày $1$ đến ngày $n$

Xét $21$ ngày liên tiếp. khi đó tồn tại $m>n$ sao cho $S(m)\equiv S(n)\pmod{20}$

Do $0<S(m)-S(n)<36$ nên $S(m)-S(n)=20$, đây là điều cần chứng minh.

Xét $\mathbb{X}=\{1,2,3,...,n\}$. Ta thấy $n2^{n-1}$ chính là số cặp $(x, \mathbb{A})$ trong đó $x\in \mathbb{X}$, $A\subset \mathbb{X}\setminus\{x\}$

Nếu $\left|\mathbb{A}\right|=k$  thì ta có $C^{n-k}_{n}$ cách chọn $\mathbb{A}$, kèm theo đó là $n-k$ cách chọn $x$

Vậy tổng lại ta có $\sum\limits_{k=0}^{n-1}(n-k)C^{n-k}_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}iC^{i}_{n}$

Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$ thì $(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)\leqslant b(a^2+c^2+ac)(ab+bc+ca)\overset{AM-GM}{\leqslant} \dfrac{9b(a+c)^2}{4}$

Có $b(a+c)(a+c)\leqslant \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}\leqslant 4$ nên $VT\leqslant 9$

(Kiểu này có khi lại bị nhắc nhở vì spam mất).

Đề là $\frac{(5^p-2^q)(5^q-2^p)}{pq}$ chứ không phải là $\frac{(5^p-2^p)(5^q-2^q)}{pq}$ 

Holy oải thế nhỉ