Cho a,b,c>=0; $\sum a =3$ ; CMR: $(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab+bc+ca) \leq 9$
#2
Đã gửi 28-07-2015 - 16:10
Changg Changg
-
- Thành viên
-
- 85 Bài viết
Hạ sĩ
Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$ thì $(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)\leqslant b(a^2+c^2+ac)(ab+bc+ca)\overset{AM-GM}{\leqslant} \dfrac{9b(a+c)^2}{4}$
Có $b(a+c)(a+c)\leqslant \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}\leqslant 4$ nên $VT\leqslant 9$
- Frankesten yêu thích
#3
Đã gửi 28-07-2015 - 16:16
Dinh Xuan Hung
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 1396 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho a,b,c>=0; $\sum a =3$ ; CMR: $(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab+bc+ca) \leq 9$
$$3VT\leq 3b.(a^2+ac+c^2).(ab+bc+ca)=3b.[(a+c)^2-ac].[ac+b(a+c)]$$
$$=3b.[(3-b)^2-ac].[ac+b(3-b)]\leq \left ( \frac{3b+9-6b+b^2-ac+ac+3b-b^2}{3} \right )^3=27$$
$$\Rightarrow VT \leq 9$$
- Chung Anh và Frankesten thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024  bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
