Pino

Phần màu đỏ chưa được chặt chẽ

Để chặt chẽ theo mình xét trường hợp $x \in [-1;1]$ như bạn gianglqd. Trong trường hợp này phương trình có 3 nghiệm phân biệt, và vì phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm nên ta không xét trường hợp $\left| {x} \right| > 1$ nữa.. 

sao thế dc, mk giải vẫn có nhiều pt bậc 3 vô nghiệm mà

Bạn thử cho ví dụ một phương trình bậc 3 mà vô nghiệm đi..... Tìm ra là đi nhận giải Fields với GS Ngô Bảo Châu luôn.....

Tại sao lại ra chỗ này thế bạn ??

Cho $x+y=2$

Chứng minh: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

Tìm $x,y$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} x^{2007}+y^{2007}=1 & & \\ x^{2010}+y^{2010}=x^3+y^3 & & \end{matrix}\right.$

Một bài mới: Cho a,b,c là các số  thực thoả mãn $a^2+b^2+7c^2=9$. Tìm GTNN của biểu thức:

                                                       $\mathbb F= ac+2bc+c^2$

11, $\sqrt{1 + x^{2}} + \sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt[3]{1 + x^{3}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + \sqrt[4]{1 + x^{4}} + \sqrt[4]{1 - x^{4}} = 6$ 

 

$x-\sqrt{x}=1-\sqrt{2(x^{2}-x+1)}$

$\frac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^{2}-x+1)}}\geq 1$

Bất đẳng thức chứng minh có thể viết lại thành:

$\frac{(x+y+z)^3}{xyz}-27\geq 27\left ( \frac{x+z}{x+y}+\frac{x+y}{x+z}-2 \right ) \Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^3-27xyz}{xyz}\geq \frac{27(y-z)^2}{(x+y)(x+z)}$

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

$(x+y+z)^3-27xyz=\left \{ \left [ x+(\sqrt{y}-\sqrt{z})^2 \right ]+\sqrt{yz}+\sqrt{yz} \right \}^3-27xyz\geq 27.\left [ x+(\sqrt{y}+\sqrt{z})^2 \right ].\sqrt{yz}.\sqrt{yz}-27xyz=27yz(\sqrt{y}-\sqrt{z})^2$

Do đó ta cần chứng minh:

$\frac{27yz(\sqrt {y}-\sqrt {z})^2}{xyz}\geq \frac{27(y-z)^2}{(x+y)(x+z)}\Leftrightarrow 27(\sqrt {y}-\sqrt {z})^2.\left [ \frac{1}{x}-\frac{(\sqrt {y}-\sqrt {z})^2}{(x+y)(x+z)} \right ]\geq 0 (*)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$\frac{(\sqrt {y}+\sqrt {z})^2}{(x+y)(x+z)}\leq \frac{(\sqrt {y}+\sqrt {z})^2}{(\sqrt {x}.\sqrt{z}+\sqrt{y}.\sqrt{x})^2}=\frac{1}{x}$

Do đó: (*) đúng. Bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z.$