tay du ki

6.$\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}=2+(x-y)^{2}$

7.$\sqrt{2x-1}+x^{2}-3x+1=0$

8.$\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^{2}-4}-2x+2$

6 ) VP $\geq$ 2 VÀ 2$\geq$VT 

7 ) VP $\geq$ 0

8 )

Ngày thi thứ hai 

https://drive.google...FRyNnBwems/view

Nguồn : Facebook Thầy Nguyễn Khắc Minh

Cho tam giác ABC có góc B = 60 độ : góc C = 45 độ  . Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD= $\frac{1}{2}$ AB 

Tinh góc BDC

Bài 3 là x² hay là x³ các bạn nhỉ 

Qua trao đổi với thầy Trần Việt Hùng thì mình đã xin được link download Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ , mình chia sẽ cho bạn nào cần 

https://www.fshare.v...er/YWE1MU1DI75U

Qua đây Em xin cảm ơn thầy Trần Việt Hùng rất nhiều               

Giải như sau:
TH1: $3^x-2^y=1 \Rightarrow 3^x-1=2^y$
Ta cm quy nạp thu được $3^{2^k}-1 \vdots 2^{k+1}$ mà $\not \vdots 2^{k+2}$
Giờ cm $2^k$ là số nhỏ nhất thỏa $3^h-1 \vdots 2^{k+1}$ thật vậy giả sử ngược lại hay tồn tại $l<2^k$ sao cho $3^l-1 \vdots 2^{k+1}$ suy ra $2^k \vdots l$ (theo định lý cơ bản về cấp số, cm bằng cực hạn) suy ra $l=2^t$ và do $l<2^k$ nên $t<k$ suy ra $3^{2^t}-1 \vdots 2^{k+1}$ lại có theo quy nạp ở trên $3^{2^t}-1 \vdots 2^{t+1}$ mà $\not \vdots 2^{t+2}$ mà $t+2<k+1$ nên $3^{2^t}-1 \not \vdots 2^{t+1}$ loại do đó có đpcm hay $2^k$ là số nhỏ nhất thỏa $3^h-1 \vdots 2^{k+1}$
Áp dụng vào có $3^{2^{y-1}}-1 \vdots 2^y$ với $2^{y-1}$ nhỏ nhất thỏa
Suy ra $x \vdots 2^{y-1}$ nên $x\geq 2^{y-1}$ suy ra $3^x-1\geq 3^{2^{y-1}}-1$
Đặt $2^{y-1}=a$ suy ra $3^x-1\geq 3^a-1$ hay $2^y\geq 3^a-1 \Rightarrow 2a\geq 3^a-1$ bằng quy nạp cm được $a>1$ thì $3^a-1>2a$ loại do đó $a=1$ nên $y=1$ suy ra $x=1$
TH2: $2^y-3^x=1 \Rightarrow 2^y-1=3^x$ tương tự trên, ta cm được $2.3^{x-1}$ là số nhỏ nhất thỏa $2^h-1 \vdots 3^x$
Do đó $y \vdots 2.3^{x-1}$ nên $2^y-1\geq 2^{2.3^{x-1}}-1$
Đặt $3^{x-1}=b$ suy ra $3b=2^{y}-1\geq 2^{2b}-1 \Rightarrow 3b\geq 2^{2b}-1$ bằng quy nạp cm được $b\geq 3$ thì $2^{2b}-1>3b$ do đó $b=1,2$ nên $3^{x-1}=1,2$ nên $x-1=0 \Rightarrow x=1$ suy ra $y=2$
Vậy $\boxed{(x,y)=(1,1),(1,2)}$ là tất cả nghiệm

Kính gửi quản trị viên và những người điều hành diễn đàn , theo em nghĩ thì các anh chị nên tổng hợp các bài toán chưa có lời giải theo từng năm . Như thế thì sẽ có người có thể biết và giải các bài toán đó . Nếu không các bài toán chưa có ai giải thì nó sẽ tiếp tục trôi đi . em xin cảm ơn

Bài Toán 6:

  Tìm các cặp số nguyên a,b sao cho 

        $\frac{b^{2}+ab+a+b-1}{a^{2}+ab+1}$ là số nguyên

ta có   $\frac{b^{2}+ab+a+b-1}{a^{2}+ab+1}+1$ là số nguyên

$\Rightarrow \left ( a+b \right )\left ( a+b+1 \right )\vdots a^{2}+ab+1$

Mà gcd $\left ( a+b; a^{2}+ab+1 \right )= 1$

*Nên $\left ( a+b+1 \right )\vdots a^{2}+ab+1$

*Nếu a+b =0 nên a, b thuộc tập Z

*Nếu a+b = 1 : Tự xét 

Nếu a+b khác 0 ;1 

với a>1 hoặc a<-1 

Ta có $\mid a^{2}+ab+1\mid > \mid a+b+1 \mid$ 

Vậy không thỏa mãn 

với a=1;0;-1 các bạn tự xét

cho mình hỏi khi nào thì thi TST nhỉ 

nếu  x lẽ thì $3^{x}\equiv 3 \left ( mod 4 \right )$ 

mà 112chia hết cho 4 

$y^{2}\equiv 3 \left ( mod 4 \right )$ vô lý 

nên x chẵn 112 = $\left ( y-3^{k} \right )\left ( y+3^{k} \right )$

$(Mỹ-1982)$

Chứng minh: Tồn tại $k$ tự nhiên sao cho $k.2^{n}+1$ là hợp số

Với $n=1,2,3,...$

Ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là được :

Th1: n>1

với n chẵn 

$2^{n}\equiv 1\left ( mod 3 \right )$

nên với k có dạng 3x+2 thì $k.2^{n}+1$ $\vdots 3$

với n lẻ 

$2^{n}\equiv 2 \left ( mod 3 \right )$

nên với k có dạng 3x+1 thì $k.2^{n}+1$ $\vdots 3$ 

mà $k.2^{n}+1$ >3 vậy luôn tồn tại k để  $k.2^{n}+1$ chia hết cho 3 từ đây nên $k.2^{n}+1$ là hợp số

Th2 : n=1 thì luôn luôn tồn tai rồi 

p/s : Nếu mà sai thì mong các bạn thông cảm 

Tìm m,n là số nguyên thỏa mãn $7m^{3}+1=n^{3}$

Giải các hệ phương trình sau:

1,$\left\{\begin{matrix} xy+z^2=2 & \\ yz+x^2 =2 & \\ zx+y^2=2 & \end{matrix}\right.$

2,$\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2-4xy+x+5y-4=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

3,$\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy-4x+2y=2\\ x(x+1)+y(y+1)=4 \end{matrix}\right.$

TH1 : Với x=-2 dễ rồi 

TH2 : với x khác -2 

ta có từ FT 1 thì $y= \frac{2+4x-3x^{2}}{x+2}$ thế vào FT2 ta suy ra dược phương trình 

$10x^{4}-22x^{3}+6x^{2}+14x-8$=0

$\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{3}\left ( 10x-8\right )$

Đến đây thì dễ rồi

$\boxed{10}.$ GHPT: $\left\{\begin{matrix} x^4+2x^3y-2x^2y^2-12xy^3+8y^4+1=0 \\ 2x^3y+y^4=1 \end{matrix}\right.$

$\boxed{11}.$ (Bài cuối cùng của phần HPT hữu tỉ)

 Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} y^3-x^3=7 \\ x^3-y^2+x=-2 \end{matrix}\right.$

Ta có $y^{3}=x^{3}+7$

$x^{3}+x+2=y^{2}$

$\Rightarrow \left (x^{3}+7 \right )^{2}= \left ( x^{3}+x+2 \right )^{3}$

phân tích ra : $x^{9}+3x^{7}+5x^{6}+3x^{5}+12x^{4}-x^{3}+6x^{2}+12x-41= 0$

$\left ( x-1 \right )\left ( x^{8}+x^{7}+4x^{6}+9x^{5}+12x^{4}+24x^{3} +23x^{2}+29x+41\right )$

$x^{8}+x^{7}+4x^{6}+9x^{5}+12x^{4}+24x^{3}+23x^{2}+29x+41> 0$

vì $x^{3}+x+2=y^{2}$$\geq 0$

nên( x+1) (x²-x+2)$\geq 0$

nên x$\geq -1$

Ta có $x^{8}+x^{7}+4x^{6}+9x^{5}+12x^{4}+24x^{3}+23x^{2}+29x+41$

nếu x$\geq 0$ luôn đúng 

nếu $-1\leq x< 0$ ta có 

$x^{8}+x^{7}+4x^{6}+9x^{5}+12x^{4}+24x^{3}+23x^{2}+29x+41=x^{8}+x^{6}(x+1)+3x^{6}+9x^{4}(x+1)+3x^{4}+1+x^{3}+23x^{2}(x+1)+29x+29+11$$\geq 0$

vây x=1 khi dó y=2

$\boxed{10}.$ GHPT: $\left\{\begin{matrix} x^4+2x^3y-2x^2y^2-12xy^3+8y^4+1=0 \\ 2x^3y+y^4=1 \end{matrix}\right.$

$\boxed{11}.$ (Bài cuối cùng của phần HPT hữu tỉ)

 Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} y^3-x^3=7 \\ x^3-y^2+x=-2 \end{matrix}\right.$

$\boxed{10}$

Thay $2x^{3}y+y^{4}=1$vào PT đầu :

Ta có 

$x^{4}+4x^{3}y-2x^{2}y^{2}-12xy^{3}+9y^{4}=0$

$\Leftrightarrow \left ( x+3y \right )^{2}\left ( x-y \right )^{2}=0$

Đến đây thì dễ rồi ta chỉ cần thay : $x=y$ hoăc $x=-3y$ vào phương trình $2$ là được.