NguyenHoaiTrung

 Bài 13 Cho $p,q$ là các số nguyên tố. Đặt $A=p^2+3pq+q^2$

a) Tìm $p,q$ để A là số chính phương

b) Tìm $p,q$ để A là lũy thừa của $5$

(nguồn: Star education)

 Bài 12 Tìm bộ ba số nguyên tố $p,q,r$ sao cho $p^q +q^p=r$

                        Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b,c đôi một khác nhau sao cho biểu thức:                                                   

 

                $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$ nhận giá trị nguyên dương.

                                     

Từ điều kiện ta có $A.abc=ab+bc+ca+a+b+c$

Từ đây ta suy ra $a,b,c$ cùng tình chẵn lẻ. Ta giả sử $c\geq b\geq a$

+) Nếu $a\geq 3$ thì $b\geq 5$ và $c \geq 7$ suy ra $A <1$. Nên $a \in (1;2)$

Đến đây ta xét trường hợp nữa là ra ( chú ý $a,b,c$ cùng tính chẵn lẻ )

Lời giải ở trên vẫn còn sai ở chỗ  $2^{k}-x \geq 2^{k}+x$. Ở mỗi trường hợp, ta có thể chứng minh không chia hết theo cách giống bạn Tea Coffee ở trên. 

Bài 5b) đã có trên mạng. Xin được phép ghi lại 

Trước tiên, ta tô màu xen kẽ các ô hình quạt, như vậy sẽ có 5 ô được tô màu (ô màu) và 5 ô không được tô màu (ô trắng). Ta có nhận xét : Nếu di chuyển 1 bi ở ô màu và 1 bi ở ô trắng thì tổng số bi ở 5 ô màu không đổi. Nếu di chuyển ở 2 ô màu, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô màu giảm đi 2. Nếu di chuyển ở 2 ô trắng, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô màu tăng lên 2. Vậy tổng số bi ở 5 ô màu hoặc không đổi, hoặc giảm đi 2 hoặc tăng lên 2. Nói cách khác, tổng số bi ở 5 ô màu sẽ không thay đổi tính chẵn lẻ so với ban đầu. Ban đầu tổng số bi ở 5 ô màu là 5 viên (là số lẻ) nên sau hữu hạn lần di chuyển bi theo quy luật trên thì tổng số bi ở 5 ô màu luôn khác 0 và khác 10, do đó không thể chuyển tất cả các viên bi về cùng 1 ô.

Nếu $f(1)=0$ thì phương trình có 1 nghiệm bằng 1, không thỏa ĐKXĐ của hệ thức 

Đây là lời giải và bình luận. 

https://drive.google...naf1_16KK7/view

Nguồn: thầy Trần Nam Dũng