ChiMiwhh

Tử mẫu đồng bậc nên chia rồi đổi biến

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng

$\sum_{cyc} \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

https://artofproblem...quality_problem

 

Lời giải sử dụng bđt Vasile 

Này nhá

$(a^2+bc+b^2)(b^2+ab+c^2)-(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)\geq 0$ tương đương $b(a+c)(a-c)^2\geq 0$ 

sau đó làm giống thầy Cẩn'

File cho e

 K2pi.Net.Vn---PP Chuyen Vi ( Vo Quoc Ba Can ).pdf   171.55K   334 Số lần tải

aida

chuyển vị

cho $abc=1$

cmr :

$\frac{1}{a^3+b+c}+\frac{1}{b^3+c+a}+\frac{1}{c^3+a+b}\leq \frac{a+b+c}{3}$

Dễ thấy $VP\geq 1$

CM $VT\leq 1$

Áp dụng CS

$\sum \frac{1}{a^3+b+c}=\sum \frac{bc+b+c}{(a^3+b+c)(bc+b+c)}\leq \sum \frac{bc+b+c}{(a+b+c)^2}\leq \frac{t^2+6t}{3t^2}\leq 1$ 

Với $t=a+b+c$ 

tương đương $t\geq 3$ đúng

Bài làm rất tốt. Bây giờ ta sẽ bắt đầu thử sức với một bài khó để thử trình độ các bạn nhé:

 

$\boxed{5}$ Cho $a,b,c$ là số dương thỏa $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh rằng: 

$$ \frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} +  \frac{z}{1-z^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$ 

 

*Chú ý: Sử dụng bất đẳng thức Jensen được 2 điểm, các phương pháp khác 1 điểm

Đặt $a=\sqrt{3}x$ và tương tự nên ta có $a^2+b^2+c^2=3$

Cần cm $\sum \frac{a}{3-a^2}\geq \frac{3}{2}$

Xét bđt phụ

$\frac{a}{3-a^2}\geq \frac{a^2}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2(a+2)\geq 0$ luôn đúng

Thiết lập tương tự và cộng lại

Xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$. Chứng ming rằng: $\sum \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leqslant 4(\sum \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}})$

Ta có hàng đẳng thức quen thuộc $\sum \frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sum \frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Hay cần cm $\sum \frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leqslant 2(\sum \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}})$

Áp dụng bđt quen thuộc thì 

$\frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}}+\frac{(\sqrt{b}-1)^2}{\sqrt{c}}\geq \frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Thiết lập tương tự rồi cộng lại là đpcm

P.s: Cho mk hỏi riêng bài 3 này thì bạn kiếm trong sách nào v??

Chắc có gì đó nhầm lần vì điểm rơi là $b=d=2a=2c$.

Vâng ạ

Bài toán tiếp theo: 

$\boxed{2}$ Chứng minh với 4 số thực không âm bất kì $a,b,c,d$ ta có:

$(ab)^{\frac{1}{3}}+(cd)^{\frac{1}{3}} \leq [(a+c+b)(a+c+d)]^{\frac{1}{3}}$

Bài viết trích dẫn bđt trong sol https://diendantoanh...r-và-minkowski/

Thật may mắn khi phone của e có thể chuyển qua desktop mode

P.s: sr mng vì em áp dụng bđt phụ sai

Bảng điểm:
Hoang72: 1 điểm

Bài toán tiếp theo:
$\boxed{2}$ Chứng minh với 4 số thực không âm bất kì $a,b,c,d$ ta có:
$(ab)^{\frac{1}{3}}+(cd)^{\frac{1}{3}} \geq [(a+c+b)(a+c+d)]^{\frac{1}{3}}$

Nếu như em ko nhầm thì nó sai với $a=b=c=d=1$
P.s: em dùng dth nên ko chỉnh được, lát e chỉnh lại sau ạ

Bài 91: Tìm nghiệm nguyên là các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn

$p+q=(p-q)^3$

$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=2 & \\ y^2+2y+2=(y+2)\sqrt{x^2+1} & \end{matrix}\right.$
P/s: ở vmf lúc trước nhưng chưa có lời giải
 

Sr mọi người : mk làm hơi fail

Bài 83: Cho m;n nguyên dương thỏa $m+n+1$ là 1 ước nguyên tố của $2(m^{2}+n^{2})-1$. Chứng minh mn là số chính phương.

GS $m\geq n$ 

Nên từ giả thiết 

$2(m^2+n^2)-1=(m+n)^2+(m-n)^2-1$ suy ra $(m-n)^2\vdots m+n+1$ mặt khác nó lại là số nguyên tố nên

là

TH1;

$m-n\geq  m+n+1$ vô lí nên suy ra 

TH2:

$m-n=0$ nên $m=n$ hay đpcm

P.s: dạo này luyện đề bận wa, chỉ kịp lên lấy vài bài về làm

Giải hệ phương trình sau:

     $\left\{\begin{matrix} x+\sqrt[3]{5y-(x+1)^3}=4-\frac{17x+9}{2y^2} \\ y^3-3y^2-4=x^3+3(x-3y) \end{matrix} \right.$

Từ phương trình 2 có thể đưa về 

$a^3+3a=x^3+3x$ với $a=y-1$

Suy ra $x=y-1$

Từ cái giả thiết, ta có

$ab+bc+ac=1$ với $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$

Cần cm

$a+b+c+\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(a+c)(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

Am-Gm vài lần là ra

$\sum_{sym}$ có nghĩa là tổng đối xứng 

$\sum_{cyc}$ có nghĩa là tổng hoán vị

khi viết rút gọn thì có thể hiểu là tổng hoán vị