dinhvu

Có $(n-1)!$+$A$=$n^k$ Có $n$ đồng dư $1(mod n-1)$ 
Suy ra $A-1$ chia hết cho $n-1$. Đến đây thay $A$ vào là được các trường hợp của $n$ và thử lại

Bất đẳng thức này sai với $(a;b;c)=(0.25;0.25;0.5)$ ạ.

bđt đúng mà bạn

bổ đề như nào vậy ạ

mình lười cminh quá, gửi bạn link này v
https://math.stackex...-3?noredirect=1

$P^2=(\sum \sqrt{ab(4-a)})^2=4\sum ab-\sum a^2b+2\sum \sqrt{ab^2c(4-a)(4-b)}\\ \Rightarrow P^2 \geq 4\sum ab-\sum a^2b\\$
Mà có $(a-2)(b-2)(c-2)\leq 0 \Rightarrow 12\leq abc+4\sum a\leq 8+2\sum ab\\ \Rightarrow \sum ab \geq 2$
và $\sum a^2b \leq \sum a^2b +abc \leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3=4$(bổ đề quen thuộc)
Vậy $P^2 \ge 4$ hay $P \ge 2$
Dấu bằng xảy ra khi a=2,b=1,c=0

Đây là đề thi VMTC lớp 9 2023

Chứng minh trong $2024^2+1$ số tự nhiên bất kỳ, ta luôn chọn được $2025$ số có tổng bằng 2025

hình như đề bài sai, nếu cho tất cả các số lớn hơn 2025 thì vô lí

GT suy ra $\sum \frac{1}{x}\leq 1$
Suy ra $Q+81\geq \sum (xy^2+\frac{81}{x})-18 \sum xy \geq 18 \sum xy -18 \sum xy=0$
Do đó $Q \ge -81$

Ý a bạn dùng $A, E, I, F$ đồng viên và $O, I, B, C$ đồng viên là được thôi. Ý b thì chú ý $AG$ cắt $(O)$ tại $S$ là trực tâm tam giác $BCJ$ là được. Ý c là biến đổi tỉ số. Mình nói vắn tắt vậy thôi tại sắp thi rồi nên không đủ thời gian gõ hết lời giải. 

Mình nghĩ là không nên dùng từ đồng viên nó kiểu không có từ nào chỉ í, chắc là bạn học ai đó nên dùng từ nội tiếp sẽ dễ hiểu hơn

Cộng 2 vế của phương trình ta có $(x-y)^2-3(x-y)+2=0$ hay $(x-y-2)(x-y-1)=0$ Đến đây thế vào phương trình đầu là xong

bạn định xét tiếp như nào nhỉ

Ta có $a^2+a+1 >2$ nên $a-1$ chỉ $=2$ hoặc $=1$

Suy ra $2p=(a-1)(a^2+a+1)$ Rồi xét trường hợp là ra mà nhỉ :v

ĐKXĐ: $x \ge \frac{1}{2}$
Ta có VP $\ge 0$ nên có $x \ge 0$
Ta có $(2x+1)^2 \sqrt{2x+1} +5\sqrt{2x+1}=(2x)^5+5.2x$
Từ đây dễ có $\sqrt{2x+1}=2x$ nên đơn giản rồi

KMTTQ, giả sử $x>y$ và $a>b$ Suy ra $ab(a+b)=xy(x+y)$. Nếu $x+y=a+b=0$ thì dễ nên ta xét TH khác 0 
Suy ra $ab=xy$ hay $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$ hay $x-y=a-b$ nên đơn giản

Ai có lời giải không ạ   

Suy ra $(b^d-a)\vdots (c-b)$ Rồi ta chọn $c$ đủ lớn thì $b^d=a$