thvn

Cảm ơn bạn về bài hướng dẫn chi tiết, cẩn trọng, chu đáo. 

Về GeoGebra này thì theo tôi biết có nhóm của PGS .TS. Tạ Duy Phượng (Viện Toán học) đã nghiên cứu rất kỹ và giảng dạy ứng dụng cho giáo viên các trường.

Đây là công cụ hữu ích cho giáo viên, giảng viên viết tài liệu, thiết kế bài giảng...còn đối với HS chúng tôi vẫn khuyến khích vẽ tay để rèn luyện sự cẩn thận, rèn luyện khả năng dựng hình(một dạng toán đang dần bị lãng quên) cũng như nhớ hình, nhớ mối liên kết dữ liệu trong bài toán.

Xin gửi tới các em HS bài toán của thầy Nguyễn Bá Đang (Hội Toán học Hà Nội - HMS) đăng trên Romantics of Geometry (Ρομαντικοί της Γεωμετρίας) - mình đã xin phép thầy chia sẻ lại:

 

Bài toán (Nguyễn Bá Đang):

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $\angle ABC= 2 \angle ACB$, $D$ trên cạnh $BC$ sao cho $ \angle ACD = 2 \angle CAD$. Chứng minh

$\frac{1}{CD} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}$.

Dành cho các bạn chuẩn bị thi vào lớp 10 các trường chuyên lớp chọn:
 
Bài toán 1:
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $2 + a + b + c = abc$.
Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} = 1$.


Lời giải:
Bằng cách thêm bớt hạng tử 2 vế của điều kiện bài ra ta có:
\begin{align*}
& 2 + a + b + c = abc  \\
& \Rightarrow (1 + a + b + ab) + (1 + b + c + bc) + (1 + c + a + ca) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc \\
& \Rightarrow (1 + a)(1 + b) + (1 + b)(1 + c) + (1 + ac)(1 + a) = (1 + a)(1 + b)(1+ c)
\end{align*}
Vì $a, b, c > 0$ nên $(1 + a)(1 + b)(1 + c) \ne 0$, chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho $(1 + a)(1 + b)(1 + c)$ ta thu được: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} = 1$, bài toán được chứng minh.

 

Bài toán 2:
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $2 + a + b + c = abc$.
1. Chứng minh rằng $a + b + c \ge 6$.
2. Chứng minh rằng $abc \ge 8$.

Lời giải:

Từ dự đoán dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 2$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 4 số ta được:
$abc = 2 + a + b + c \ge 4\sqrt[4]{2abc} \Rightarrow abc \ge 8 \Rightarrow a + b + c \ge 6$. Tất nhiên còn nhiều con đường, hướng đi khác từ điều kiện hay và rất đặc biệt này.


Lời bình:
Từ bài toán trên chúng ta thấy rằng:  bằng cách biến đổi linh hoạt các hằng đẳng thức(mở rộng) kết hợp với phương pháp xét dấu và các bất đẳng thức cổ điển(Cauchy, Bunhiacopxki, Svác-xơ) đã tạo ra nhiều hướng đi khác nhau để giải quyết vấn đề và cũng từ sự phân tích biểu thức $a + b + c + 2 = abc$ theo các cách trên sẽ là chìa khóa giúp học sinh giải được một lớp các bài toán liên quan đến điều kiện đặc trưng này!


Đặc biệt lưu ý:
Từ $2 + a + b + c = abc$ ta khó có thể tìm ra sự tương quan giữa $a, b, c$ nhưng sau khi đã biến đổi về $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 1$ ta có thể đặt $a = \frac{y + z}{x}; b =  \frac{z + x}{y}; c = \frac{x + y}{z}$. Đây là cách rất hữu hiệu để giải các bài toán bất đẳng thức sau này với điều kiện tương tự.
 


Dưới đây là một số bài tập đặc trưng mình thu thập(sưu tầm) được, chúc các em rèn đức luyện tài và đạt kết quả tốt trong kỳ thi sắp tới nhé!
 

Bài toán 3 [Đề kiểm tra kiến thức Toán lớp 9 – Đợt 1 – chuyên ĐHKHTN 2023]
Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $2 + a + b + c = abc$. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S =  \frac{a^3  + b^3  +c^3}{ab+bc+ca}$.
 

Bài toán 4:
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + 2 = abc$. 
Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+a} \ge 2$.

 
Bài toán 5:

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $2 + a + b + c = abc$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S = \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} +\frac{1}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}}$.

 

Bài toán 6:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + 2 = abc$. 
Chứng minh rằng: $2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}) \le a + b + c + 6$.

(Sưu tầm) - Đây cũng là trò chơi thú vị và có cơ sở toán học dựa trên bất đẳng thức Cauchy cổ điển (để tìm ra thuật toán luôn thắng cuộc không đơn giản), chơi được mọi lúc mọi nơi và được các bạn học sinh rất yêu thích.

Cho một ma trận $3\times 3$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
\hline
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
\hline
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\hline
\end{array}
Hai người chơi, một người lựa chọn tính theo hàng, người còn lại lựa chọn tính theo cột.

Cách chơi như sau:
Mỗi người theo thứ tự lần lượt điền các số khác nhau từ 1 đến 9 vào các ô trống. Khi bảng đầy thì người chọn hàng sẽ tính tổng các tích theo hàng:
$\qquad H=a_{11}.a_{12}. a_{13} + a_{21}.a_{22}. a_{23} + a_{31}.a_{32}. a_{33}$
và người còn lại tính tổng các tích theo cột:
$\qquad C=a_{11}.a_{21}. a_{31} + a_{12}.a_{22}. a_{32} + a_{13}.a_{23}. a_{33}$.
Bạn nào được tổng lớn hơn sẽ là người thắng cuộc.
Chúc cả nhà cuối tuần vui vẻ!!!