cvp

Cho tứ giác $ABCD$ có chu vi là $2p$ và $M$ là 1 điểm trong tứ giác. Chứng minh rằng:
a) $p<AC+BD<2p$
b) $p<MA+MB+MC+MD<3p$.
_________________________________
P/S: chỉ có phần chứng minh <3p là em chưa làm được, vì vậy nếu anh em VMF không muốn tốn thời gian thì chỉ làm phần$<3p$ thôi nha !

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $AB<AC$. Đường cao $AH; H\in BC$. Vẽ hình vuông $AHKE$ ($K;E$ thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng bờ $AB$ với $C$).$P$ là giao điểm của $AC$ và $ EK$.Vẽ hình vuông $APQB$. $I$ là giao của $BP$ và $AQ$. CMR:
$H; I; E$ thẳng hàng và $HE\parallel QK$

Cu Toàn là "chuyên gia giở sách" à? Có thể chỉ giáo cho vài chiêu được không?
P/s: tại cái môn sinh cô giáo bắt học từ bài đầu đến bài cuối x(, khó thuộc chết đi được!

Bài 8
Cho các số dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện:
$x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$
Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

Cách 3 :
Trường hợp 1 (TH 1)
Xét $x>1; y>1$. Ta có $x^{3}>x^{2}; y^{4}>y^{3}$
Do đó $x^{3}+y^{4}>x^{2}+y^{3}$. Mâu thuẫn với đề bài.
TH 2:
Xét $0< x\leq 1; 0< x\leq 1$ ta có được:
$x^{3}\leq x^{2}\leq x \leq 1$; $y^{3}\leq y^{2}\leq y \leq 1$.
Do đó $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2} \leq x+y \leq 2$.
TH 3:
Xét $0 < x \leq 1; y>1$.
Với $n=0;1;2$ ta có $x^{2}\leq x^{n}, 1-n\geq 0$.
Do đó $(x^2-x^n)(1-x)\leq 0\Leftrightarrow x^2(1-x)\leq x^n(1-x) (1)$
Và $y^3\geq y^n; 1-y<0$ nên $(y^3-y^n)(1-y)\leq 0 \Leftrightarrow y^3(1-y)\leq y^n(1-y) (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:
$x^2(1-x)+y^3(1-y)\leq x^n(1-x)+y^n(1-y)\Leftrightarrow (x^2+y^3)-(x^3+y^4)\leq (x^n+y^n)-(x^{n+1}+y^{n+1})$$x^2(1-x)+y^3(1-y)\leq x^n(1-x)+y^n(1-y)\Leftrightarrow (x^2+y^3)-(x^3+y^4)\leq (x^n+y^n)-(x^{n+1}+y^{n+1})$
Mà $x^2+y^3\geq x^3+y^4$$x^2+y^3\geq x^3+y^4$
Do đó $(x^n+y^n)-(x^{n+1}+y^{n+1})\geq 0 \Leftrightarrow x^{n+1}+y^{n+1}\leq x^n+y^n$
Thay $n=0; 1; 2$ ta có:
$x^3+y^3\leq x^2+y^2 \leq x+y \leq 2$
TH 4:
Xét $x>1; 0< y \leq 1$. Lập Luận tương tự như c.
P/s:ai có cách 4 không post lên cho mọi người nào !

Cách 2 nè:
Ta có $(y^{2}-y)^{2}\geq 0 \Rightarrow 2y^{3}\leq y^{4}+y^{2} \Rightarrow (x^{3}+y^{3})+(x^{2}+y^{3})\leq (x^{2}+y^{2})+(x^{3}+y^{4})$
Mà $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$
Do đó ta có $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2} (1)$
Mặt khác $x(x-1)^{2}\geq 0; y(y+1)(y-1)^{2}\geq 0$
Do đó $x(x-1)^{2}+y(y-1)(y-1)^{2}\geq 0\Rightarrow x^{3}-2x^{2}+x+y^{4}-y^{3}-y^{2}+y\geq 0 \Rightarrow (x^{2}+y^{2})+(x^{2}+y^{3})\leq (x+y) +(x^{3}+y^{4})$
Mà $x^3+y^{4}\leq x^2+y^3$
DO đó ta có $x^2+y^2\leq x+y (2)$
Tương tự $(x+y)+(x^2+y^3)\leq 2+(x^3+y^4)$
Mà $x^3+y^4\leq x^2+y^3$$x^3+y^4\leq x^2+y^3$. Do đó ta có $x+y\leq 2 (3)$
Từ $(1); (2)$ và $(3)$ ta có được $DPCM$.

Cách 2 nè:
Ta có $(y^{2}-y)^{2}\geq 0 \Rightarrow 2y^{3}\leq y^{4}+y^{2} \Rightarrow (x^{3}+y^{3})+(x^{2}+y^{3})\leq (x^{2}+y^{2})+(x^{3}+y^{4})$
Mà $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$
Do đó ta có $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2} (1)$
Mặt khác $x(x-1)^{2}\geq 0; y(y+1)(y-1)^{2}\geq 0$
Do đó $x(x-1)^{2}+y(y-1)(y-1)^{2}\geq 0\Rightarrow x^{3}-2x^{2}+x+y^{4}-y^{3}-y^{2}+y\geq 0 \Rightarrow (x^{2}+y^{2})+(x^{2}+y^{3})\leq (x+y) +(x^{3}+y^{4})$
Mà $x^3+y^{4}\leq x^2+y^3$
DO đó ta có $x^2+y^2\leq x+y (2)$
Tương tự $(x+y)+(x^2+y^3)\leq 2+(x^3+y^4)$
Mà $x^3+y^4\leq x^2+y^3$$x^3+y^4\leq x^2+y^3$. Do đó ta có $x+y\leq 2 (3)$
Từ $(1); (2)$ và $(3)$ ta có được $DPCM$.

@@, không ai chém bài 8 này sao . Để mình vậy!

$x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4} \Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{4}+y^{2}$

Mà

$y^{4}+y^{2}\geq 2\sqrt{y^{4}y^{2}}=2y^{3}$ (BĐT $cosi$ cho 2 số $y^{4}; y^{2}$)

Do đó $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)

Áp dụng BĐT buniakovsky ta có $(x^{2}+y^{2})^{2}=(\sqrt{x}.\sqrt{x^{3}}+\sqrt{y}.\sqrt{y^{3}})^{2}\leq (x+y).(x^{3}+y^{3})\leq (x+y).(x^{2}+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$ (2)

Mặt khác: $(x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})\leq 2(x+y) \Rightarrow x+y\leq 2$ (3)

Từ $(1); (2)$ và $(3)$ ta có

$x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

Từ một đường thẳng $D$ ngoài đường tròn tâm $O$ kẻ 2 tiếp tuyển $AD$ và $BD$ đến đường tròn. Tia $Dx$ nằm giữa $DA$ và $DO$; $Dx$ giao đường tròn tại C và E ($E$ nằm giữa $C$ và $D$); $OD$ giao $AB$ tại $M$.
CMR:
a) góc $CMA$= góc $AME$
b) $\frac{MB^2}{MC^2}=\frac{DE}{DC}$

mặt khác: $a=2x-b^2$ va` $b=2x-a^2$

Bạn nhầm rùi, phải là:
$a^{2}=2x-b^{2}$ và $b^{2}=2x-a^{2}$

a)
Cho hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} &(a-1)x-by=2a-b-2 & \\ &(c+4)x+cy=12b-4a+44 & \end{matrix}\right.$
Tìm $a;b;c$ để hệ phương trình có vô số nghiệm trong đó có nghiệm $x=1$ và $y=3$.
b)
Giải phương trình sau:
$\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{-x^{2}+x+1}=x^{2}-x+2$.

Bài 1:
a)
Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn :
$x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1$.
Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}=1$.
b)
Cho các số $x,y,z\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=z^{2}$
Chứng minh rằng: $xy\vdots 12$.

Bài 1:a) Cho $a;b;c$ là các số dương. Chứng minh rằng:
$\frac{(a+b)^{2}}{ab}+\frac{(b+c)^{2}}{bc}+\frac{(c+a)^{2}}{ca}\geq 9+ 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$
b)Cho $x,y,z$ là các số dương. Tìm $P max$ biết:
$P=\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}} +\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}$

Bài 8
Cho các số dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện:
$x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$
Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

Lại AD BĐT Bunhiacopski và Cauchy, ta có:
$\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )^{2}\leq 3\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \right )$$\leq 3\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc} \right )$(2)

Chỗ này theo mình thì bạn nhầm vì sử dụng BĐT Cau-chy thì:
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

Bài 7:
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c$.
CMR:
$a+b+c\geq 3abc$.
_______
Dân lớp 8 trên VMF hiếm quá!