Peter Pan

 _vnmath.com__GiaiToanBangPhuongPhapDaiLuongBatBien_NguyenHuuDien.pdf   2.24MB   513 Số lần tải  nguy__n_l_____irichlet.pdf   255.6K   1051 Số lần tải
mình uơ lại thử, nếu không được thì chịu

$\sum \dfrac{a^3}{(b+c)^2}\geq \dfrac{1}{4}(a+b+c)$

bài này trước mắt ta có ba cách sau:
Cách 1: AM-GM
ta có $\dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{b+c}{8}\geq \dfrac{3a}{4}$
làm tương tự cộng lại ta có đpcm
Cách 2: Chuẩn hóa a+b+c=3 ta cần chứng minh
$\sum \dfrac{a^3}{(3-a)^2}\geq \dfrac{9}{4}$
ta có bất đẳng thức sau: $\dfrac{a^3}{(3-a)^2}\geq x-\dfrac{3}{4}$ ( cái này bạn tự chứng minh nhá )
làm tương tự công lại ta có đpcm
Cách 3: có thể sử dụng Chebyshev
$VT \geq \dfrac{1}{3}.(a+b+c)(\sum\dfrac{a^2}{(b+c)^2}$ ( cái sau là Nesbit thôi )

Buồn quá post một bài lên cho anh em giải rồi ngủ sáng xem kết quả, hehe!

"Trong tam giác ABC đường cao AH bằng với đường trung tuyến BM. Tính góc MBC"
_____________________

Thân

trời !!! vẽ $MK \perp BC \Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{1}{2}BM \Rightarrow \widehat{MBC}=30^o $
Done:d

Các học sinh được phát bài kiểm tra , mỗi môn một bài, trong $n$ môn $(n\ge 3)$ môn học. Biết rằng với một môn học bất kì thì có đúng 3 học sinh đạt điểm tối ưu, còn với 2 môn tùy ý thì có 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn trong cả 2 môn đó. Hãy xác định số $n$ bé nhất sao cho từ các điều kiện trên ta có thể suy ra rằng có đúng 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn học trong $n$ môn đó.

Trường hè học sinh 2010
Tp.HCM
Bài tập chuẩn bị bởi NCG.Vượng

Bài1) a/ tìm các số nguyên $k$ sao cho $k$ được biểu diến dưới dạng $k=\dfrac{m^2+n^2-1}{mn}$ với $m ,n$ là các số nguyên dương
b/ với $k$ cố định thỏa mãn điều kiện trên , chứng minh tồn tại vô số bộ nguyên dương $(m,n)$ sao cho $k=\dfrac{m^2+n^2-1}{mn}$

Bài2)cho $m,n$ là các số nguyên dương sao cho $mn$ là ước của $m^2+n^2+1$ tìm các giá trị có thể đạt được của biểu thức $\dfrac{m^2+n^2+1}{mn}$
Bài3) (Dựa theo IMO-1988) Tìm các số nguyên $k$ sao cho $k$ có thể biểu diến được dưới dạng $k=\dfrac{m^2+n^2}{mn+1}$ trong đó $m,n$ là các số nguyên dương

Bài 4) Cho $m,n$ là các số nguyên dương sao cho $\dfrac{m^2+n^2}{mn-1}$ cũng là một số nguyên dương . Tìm tất cả các giá trị có thể có của $\dfrac{m^2+n^2}{mn-1}$

Bài 5) (Nga-2001) Tìm tất cả những số nguyên dương biểu diến một cách duy nhất dưới dạng $\dfrac{m^2+n^2}{mn+1}$ trong đó $m,n$ nguyên dương

Bài 6) Tìm tất cả những số nguyên dương $a$ sao cho $a$ có thể biểu diến được dưới dạng $a=m^2+n^2-mnk$ với $m,n,k$ là các số nguyên dương sao cho $k \geq a$

Bài 7) (IMO-2007) Cho các số nguyên dương $m,n$ sao cho $4mn-1 \vdots (4m^2-1)^2$ , Chứng minh rằng $m-n$

Bài 8) (Dựa theo IMO Short List 2003 ) Tìm tất cả các số nguyên dương $m,n,k$ sao cho $m^2=k(2mn^2-n^3+1)$

Bài 9) (Putnam 1954) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $m,n$ sao cho $m^2+3mn-2n^2=122$

Ta có x phải chia hết cho y. Đặt x =a1.y, lại suy ra a1 chia hết cho y. Cứ tiếp tục như thế ta có x=y
Không biết lập luận tn đúng ko

đặt x=k.y
xét $A= \dfrac{x^y}{y^x}= \dfrac{(ky)^y}{y^{ky}}=( \dfrac{ky}{y^k})^y=( \dfrac{k}{y^{k-1}})^y$
ta cần $k \vdots y^{k-1} \Rightarrow k=1 ,k=2 $
$ k=1, \Rightarrow x=y $
$k=2, \Rightarrow x=4,y=2;x=2,y=1$
để ý y=1 thì thỏa mãn với mọi x nguyên