Đến nội dung

PRONOOBCHICKENHANDSOME

PRONOOBCHICKENHANDSOME

Đăng ký: 21-06-2011
Offline Đăng nhập: 05-05-2016 - 17:42
***--

#376126 Chứng minh rằng dãy $\bigg\{\frac{S_n}...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 08-12-2012 - 21:38

a/$S_{n}S_{n+2} - S_{n+1}^2 = (x_1^n+x_2^n)(x_1^{n+2}+x_2^{n+2})-(x_1^{n+1}+x_2^{n+1})^2=...=a^2-4 \geq 0 $
$\Rightarrow \frac{S_{n}}{S_{n+1}}-\frac{S_{n+1}}{S_{n+2}} = \frac{S_{n}S_{n+2}-S_{n+1}^2}{S_{n+1}S_{n+2}} \geq 0 $
Vậy $\frac{S_{n}}{S_{n+1}}$ giảm . ĐPCM.
b/ Câu này k hiểu đề lắm , tìm a sao cho cái bđt đúng với mọi n hay sao cho tồn tại n sao cho cái bđt đấy đúng


#375896 $\lim_{m \to \infty} m \sum_{k=m+1...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 07-12-2012 - 22:17

Cho dãy số $a_n$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} a_1=1 \\ a_{n+1}=\frac{na_n}{2+n(a_n+1)} \end{matrix}\right.$
Tính $\lim_{m \to \infty} m \sum_{k=m+1}^{2m} a_{k}$


#375879 $cos2A + cos2B + cos2C\leq \frac{3}{2}$

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 07-12-2012 - 21:39

Sử dụng đẳng thức quen thuộc : $ \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = -1 - 4 \cos A \cos B \cos C <-1$ với mọi tam giác nhọn
Vậy bđt cần chứng minh đúng và không có dấu = xảy ra


#375221 Tính giới hạn $\sum_{i=1}^{n}{\frac...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 04-12-2012 - 22:22

$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln \frac{n}{i} = \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{x} dx =1 $


#374683 $\bigtriangleup ABC$ thoả $\frac{b^3+c^3-a^3...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 02-12-2012 - 22:42

1)Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau : $\frac{b^3+c^3-a^3}{b+c-a}=\frac{a^3}{a}=\frac{b^3+c^3}{b+c}=b^2-bc+c^2$
Mặt khác, theo định lý hàm số cos trong tam giác : $a^2 = b^2 +c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{1}{2}$
2)$\cos ( A+C ) +3 \cos B = 1 \Rightarrow \cos B = \frac{1}{2}$
Từ 2 khẳng định trên thì ta suy ra tam giác ABC đều


#374675 Tính f(2008)

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 02-12-2012 - 22:30

$n=0 \rightarrow f(f(0))+f(0)=3 $
Nếu $f(0)=0 \rightarrow f(f(0))+f(0)=f(0)+f(0)=0 $ loại
Nếu $f(0)=1 \rightarrow f(1)=2 $ dễ dàng cm quy nạp $f(n)=n+1$ suy ra $f(2008)=2009$
Nếu $f(0)=2 \rightarrow f(2)=1 \rightarrow f(1)+f(2)=7 \rightarrow f(1)=6 \rightarrow f(6)+f(1)=5 \rightarrow f(6)=-1$ loại
Nếu $f(0)=3 \rightarrow f(f(0))=0 \rightarrow f(f(f(0)))+f(f(0))=2f(0)+3=9 \rightarrow f(0)=9 $ vô lý
Vậy $f(0)=1$ và suy ra $f(2008)=2009$


#374601 CMR $\sum_{i=1}^{2012}f^{3}\left...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 02-12-2012 - 18:43

$x=0 \rightarrow f(1)=2012 $
$y=1 \rightarrow f(x+1)=2012(x+1)$
$\rightarrow \sum_{i=1}^{2012} f^3(i)=2012^3(\sum_{i=1}^{2012} i^3 )=\frac{2012^3}{4}.2012^2.2013^2 > \frac{2012^7}{4}$
Đpcm


#374594 Tìm 5 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng.

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 02-12-2012 - 18:29

Theo C-S thì : $ 480 = a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \geq \frac{(a+b+c+d+e)^2}{5} =500 $ vô lý
Suy ra vô nghiệm


#374520 Chứng minh rằng 3 số dương a,b,c theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 02-12-2012 - 13:12

$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} ; \frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} ;\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ lập thành 1 cấp số cộng khi và chỉ khi :
$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} =\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$ (*)
Quy đồng chuyển vế đổi dấu , ta thấy :
$(*) \Leftrightarrow a+c=2b $
$\Leftrightarrow a,b,c $ lập thành 1 cấp số cộng


#374374 Tìm $min$ $P=\sum \frac{x}{y^{2...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 01-12-2012 - 22:09

$\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2} \geq \frac{9x^2}{2\sqrt{3}} \Leftrightarrow (\sqrt{3}x-1)^2(3x+2\sqrt{3}) \geq 0 $
Vậy : $P \geq \frac{9(x^2+y^2+z^2)}{2\sqrt{3}} =\frac{3\sqrt{3}}{2}$


#371143 $\sum x\geq \frac{3}{x+y+z}+\fra...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 20-11-2012 - 22:25

$x+y+x \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z} $
$\Rightarrow x+y+z \geq 3 $
$\Rightarrow (x+y+z)^2 = \frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{2(x+y+z)^2}{3} \geq 3 + \frac{2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}{3} \geq 3 + 2( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})$
đpcm


#369857 Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^5+y^5=33\...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 16-11-2012 - 17:52

Vì 2 hàm $x^5$ và $x^3$ đều đồng biến trên $\mathbb{R}$ ta giả sử $y>1$
Suy ra $x^5<32$ và $x^3>8$ ( vô lý )
Nếu $y<1$ đổi chiều các bdt .
Vậy HPT có nghiệm duy nhất $(x,y)=(2,1)$


#369480 1: $\int_{1}^{\frac{\pi}{2...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 14-11-2012 - 20:28

$\int e^u \cos 2u du=\frac{1}{2}\int e^ud(\sin 2u)=\frac{1}{2}\left ( e^u\sin 2u-\int e^u\sin 2u dx\right )=\frac{1}{2}\left ( e^u \sin 2u+\frac{1}{2} \int e^u d(\cos 2u)\right )=\frac{1}{2}\left [ e^u \sin 2u +\frac{1}{2}\left ( e^u \cos 2u -\int e^u \cos 2u du \right ) \right ]$
Nhân tung ra , chuyển vế đổi dấu :
$\int e^u \cos 2u du=\frac{2}{5}.e^u \sin 2u +\frac{1}{5}.e^u \cos 2u + C $


#369469 1: $\int_{1}^{\frac{\pi}{2...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 14-11-2012 - 19:48

Ta tính $I=\int \cos (2 ln x ) dx$
Đặt : $ln x = u \Rightarrow du = \frac{dx}{x}$
$I = \int x \cos (2 ln x ) \frac{dx}{x} = \int e^u \cos 2u du$
Đến đây thì ok


#368231 Cho x,y,z>0 và x+y+z=4 CMR : $\sqrt{x+y}+\sqrt...

Gửi bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME trong 09-11-2012 - 20:55

$ 0 < \frac{x+y}{4} < \frac{x+y+z}{4}=1$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{x+y}{4}} > \frac{x+y}{4}$
Lập các bđt tương tự suy ra :
$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x} > x+y+z = 4 $
ĐPCM




  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Đang xem trang cá nhân: Likes: PRONOOBCHICKENHANDSOME