zipienie

Giải phương trình $$x^5+10x^3+20x-18=0$$

Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}x^2=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\\y^2=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\\z^2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\end{cases}$$

 

Gọi $a$, $b$ và $c$ là các nghiệm của phương trình $x^3-16x^2-57x+1=0$. Chứng minh rằng
\[\sqrt[5]a+\sqrt[5]b+\sqrt[5]c=1\]

Cho $f(x)=\sqrt[3] { \dfrac{x}{2}+ \sqrt{\dfrac{x^2}{4}-1}}+ \sqrt[3] {\dfrac{x}{2} - \sqrt{\dfrac{x^2}{4}-1}}$ và $g(x)=x^4-4x^2+2.$ Giải phương trình
\[f(g(x))=g(f(x)) \quad \forall x \geq 2.\]

Giải phương trình $$x+\sqrt{(x+1)(x+2)}+\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+3)(x+1)}=4$$

Giải hệ phương trình $$\begin{cases}
 x+\sqrt{x^2-7}-\sqrt{y^2+24} & \text{} = 2 \\
 4\sqrt{x^2-7}-\sqrt{y^2+24}& \text{} = 7y
\end{cases}$$

Biết rằng các phương trình $ax^2+bx+c=0,\,bx^2+cx+a=0,\,cx^2+ax+b=0 $ có một nghiệm chung. Tính giá trị của  $ \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab} $

Tìm giá trị nhỏ nhất của $$f(x)= \sqrt{x^4 - 3x^2  - 6x + 13} - \sqrt{x^4 - x^2 + 1}$$

Cho $\{f_n \} $ là dãy  Fibonacci , $ n \geq2 $. Chứng minh rằng
\[f_n = \prod_ {k = 1} ^ {\left \lfloor \frac{n}{2}  \right \rfloor} \left (3 +2 \cos \frac{2 \pi k} {n} \right) \]

Cho $p$  là số nguyên tố có dạng $4k+1$. Giả sử $r$ là thặng dư cấp hai của $p$ và  $s$ không là thặng dư cấp hai của $p$. Chứng minh rằng $p=a^{2}+b^{2}$, trong đó \[a=\frac{1}{2}\sum^{p-1}_{i=1}\left( \frac{i(i^{2}-r)}{p}\right), b=\frac{1}{2}\sum^{p-1}_{i=1}\left( \frac{i(i^{2}-s)}{p}\right).\] Với, $\left( \frac{k}{p}\right)$ là kí hiệu Legendre .
 

Chứng minh rằng nếu $p^3+q^3=2$ thì $0<p+q\leq 2$.

Xét phương trình $px_1+x_2+...+x_n=k$, trong đó $n,k,p$ là các số nguyên dương cho trước. Chứng minh rằng số nghiệm tự nhiên của phương trình này là $$\sum_{x=0}^{\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor}C_{n-2+k-px}^{n-2}$$

Một số tài liệu mới

Sách học tính nhẩm ( Tiếng Anh)

Giải phương trình:  $$x+1=( (x^2-1)^2-1)^2$$