sonksnb

Bài 8
Giải hệ:
$\begin{cases}x^2+y^2=xy+x+y\\x^2-y^2=3\end{cases}$
Giải : Đặt $ \left\{\begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array}\right. \Rightarrow x^2 + y^2 = S^2 - 2P; x^2 - y^2 = S\sqrt{S^2 - 4P}$
Từ đó, hệ phương trình ban đầu trở thành :
$ \begin{cases}S^2 - 2P = S + P\\S\sqrt{S^2 - 4P} = 3\end{cases}$

$ \Leftrightarrow \begin{cases}P = \dfrac{S^2 - S}{3}\\S\sqrt{S^2 - 4P} = 3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}P = \dfrac{S^2 - S}{3}\\S\sqrt{S^2 - 4.\dfrac{S^2 - S}{3}} = 3\end{cases}$

$ \Leftrightarrow \begin{cases}P = \dfrac{S^2 - S}{3}\\S\sqrt{\dfrac{4S - S^2}{3}} = 3\end{cases}$

Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có : $S^2( 4S - S^2) = 27$

$ \Leftrightarrow S^4 - 4S^3 + 27 = 0 \Leftrightarrow ( S - 3 )^2( S^2 + 2S + 3 ) = 0$

$ \Rightarrow S = 3 \Rightarrow P = 2 $

Áp dụng định lý Viets, ta có : $ (x; y) = ( 2; 1 )$
( Thử lại để loại trừ cặp nghiệm 1, 2)

đã ai làm bài 4 chưa post lên cho mình xem với. Cám ơn.

mình thử với $a=0.1,b=0.7,c=0.2$ thấy sai

ừ. mình sửa lai đề rồi bạn

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2y^3+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y\\ 2x^2+2xy\sqrt{1+x}=y+1 \end{matrix}\right.$

bạn ơi ls đê viêt được cai  dấu ngoặc nhọn trong hệ pt

bạn ơi sao bạn dự đoán được dấu bằng của bài 1 đê đưa ra được đánh giá vậy

Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 6(a2+b2)+20ab=5(a+b)(ab+3)

TÌm Min:  P=9(a4b4+b4a4)−16(a3b3+b3c3)+25(a2b2+b2a2)

Bài 1:Theo giả thiết ta có:$6(a^2+b^2)+20ab=5(a+b)(ab+3)$ $\Leftrightarrow$ $6(a^2+b^2)+20ab=5ab(a+b)+15(a+b)$

$\Leftrightarrow$ $6\frac{a^2+b^2}{ab}+20=5(a+b)+15\frac{a+b}{ab}$ $\Leftrightarrow$ $6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+20=5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$.

Đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a},t \geq 2$,ta có:$6t+20=5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Áp dụng Côsi ta có:$5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 2\sqrt{75(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=2\sqrt{75(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}=2\sqrt{75(t+2)}$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 3t+10 \geq \sqrt{75(t+2)} \\ t \geq 2 \end{matrix}\right.$. $\Leftrightarrow$ $t \geq \frac{10}{3}$.

Ta có:$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=t^2-2$

         $\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3}=t^3-3t$

         $\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4}=t^4-4t^2+2$

Suy ra:$P=9(\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4})-16(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3})+25(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

               $=9(t^4-4t^2+2)-16(t^3-3t)+25(t^2-2)=9t^4-16t^3-11t^2+48t-32=f(t)$

Xét hàm số $f(t)=9t^4-16t^3-11t^2+48t-32$ trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ ta có:

$f'(t)=36t^3-48t^2-22t+48$

$f''(t)=108t^2-96t-22$

$f'''(t)=216t-96$

Ta có:$f'''(t)=216t-96 \geq 624 >0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Suy ra,hàm $f''(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ $\Rightarrow$ $f''(t) > 0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3} $

Suy ra,hàm $f'(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ $\Rightarrow$ $f'(t) > 0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Suy ra,hàm $f(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$

Suy ra: $f(t) \geq f(\frac{10}{3})=\frac{14156}{27}$,với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Vậy,$MinP=\frac{14156}{27}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 5(a+b)=15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{10}{3} \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} ab=3 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{10}{3} \end{matrix}\right.$. $\Leftrightarrow$ $(a;b)=(1;3)$ hoặc $(a;b)=(3;1)$

Bài 2:bạn xem tại đây http://diendantoanho...21-frac2a1b1c1/

bạn ơi sao bạn dự đoán được dấu bằng của bài 1 đê đưa ra được đánh giá vậy