Nxb

Cảm ơn Nxb nhiều đã cất công trả lời anh rất rõ ràng.

 

 

Đoạn này thì em nói quá lời rồi. Tất nhiên là anh hoàn toàn không nghi ngờ gì những điều tụi em nói, mà chỉ là muốn hỏi cho rõ thêm những thứ mà anh đọc được qua loa trên mạng và thấy lăn tăn. (Nói rõ thêm cho những bạn khác đang đọc, trong topic này Nesbit không phải tranh luận với Nxb và bangbang nhé, phải nói là đang nhờ chỉ giáo thêm mấy chỗ chưa hiểu; giữa một người không biết gì về phạm trù như Nesbit và những người làm nghiên cứu về phạm trù như Nxb và bangbang thì không có chuyện tranh luận về phạm trù nhé, đẳng cấp nó khác xa lắm )

 

Thực ra là nhân topic này mới tìm đọc nhanh và thảo luận thêm vậy thôi chứ anh cũng không định là học hay hiểu phạm trù theo kiểu đọc trên mạng như vậy (dù là từ bài của các em). Nếu học thì anh sẽ học textbook và làm bài tập đàng hoàng, đó có lẽ là cách tốt nhất.

 

Nhân tiện nhắc tới textbook, Nxb và bangbang đánh giá cuốn Category Theory in Context của Riehl thế nào? Năm ngoái anh đọc một loạt review trên mạng thì cuối cùng chốt được cuốn này. Anh đã lên kế hoạch học bổ túc dần nhiều thứ trước khi học phạm trù, chắc sớm nhất cũng phải hai năm nữa mới sờ tới được vì thời gian không có nhiều, nhưng nhân topic này hỏi luôn biết đâu có ích cho những bạn khác cần học sớm hơn. Có thể textbook kiểu này cũng chẳng cần thiết, vì như các em nói thì không cần nhắm tới phạm trù làm gì, cứ học tới topo đại số hoặc hình học đại số là xong.

Có lần em tìm đọc monad thì tìm thấy cuốn sách của Riehl viết khá dễ hiểu. Nhưng em không rõ ứng dụng của phạm trù vào máy tính như thế nào. Rất có thể đây là một cuốn sách tốt vì dường như Riehl có quan tâm áp dụng phạm trù vào trong thực tế.

Gần đây cũng có một cuốn sách viết theo kiểu áp dụng toán https://golem.ph.ute...ction.html#more

Em không rõ nội dung không phải toán trong bài này như thế nào nhưng nội dung toán thì viết như ngáo đá. Thứ nhất, định lý Bouwer là một định lý rất cơ bản trong tô pô đại số và trường hợp 2 chiều thì có thể đọc được ngay sau khi học xong tô pô đại cương, bởi vì tô pô đại số chỉ cần nền tảng là tô pô đại cương và lý thuyết nhóm ( với thần đồng như Bằng thì em nhớ đọc từ lớp 12 hoặc năm nhất gì đó). Ý tưởng chứng minh không có tí gì lý thuyết phạm trù ( kể cả không hiểu chứng minh thì cũng có thể xác nhận việc này vì thời điểm Brouwer và những người khác chứng minh định lý này thì lý thuyết phạm trù chưa ra đời). Như vậy dù bài báo trên định chém gió gì về phạm trù, ví dụ họ lấy là ví dụ tồi.

Thứ hai, họ nói “Một phương pháp tương tự được sử dụng để chứng minh định lý Fermat”. Em thậm chí chưa thấy họ nói một phương pháp nào trong một đoạn văn ngắn tũn như vậy, cho một định lý khủng khiếp như vậy, chứ đừng nói đến phương pháp tương tự. Em không hiểu sao cần phải đọc toán học từ những bài báo sai lac kiểu này. Cách nhanh nhất là anh đọc sách phạm trù của Mac Lane, không phải đọc từ người nghĩ ra nó là tốt nhất ? Em chưa thấy có vấn đề gì trong việc này. 

Em chưa rõ mình hiểu sai điều gì, nhưng em thấy anh vẫn nói rằng phạm trù dùng để diễn dịch định lý từ mảng này sang mảng kia. Bằng với em cũng không có lợi ích gì trong việc lừa gạt anh. Cả em và Bằng đều làm Phd về những thứ liên quan đến phạm trù hàm tử nên cũng chả ai muốn hạ thấp cái thứ mình bỏ công sức vào cả. Tuy nhiên, việc mình chỉ tin vào những gì mắt thấy tai nghe cũng không có gì lạ nên anh tự đọc nghiêm túc để quyết định mình tin vào điều gì là cách duy nhất. Cái gần nhất mà anh tưởng là diễn dịch định lý từ mảng này sang mảng khác là tương đương giữa các phạm trù (equivalence of categories), nhưng phát biểu một tương đương giữa các phạm trù như thế là một định lý, không phải là thứ để dịch chuyển chứng minh hay định lý. Các phạm trù này phải cụ thể, trong một context rõ ràng nào đó ví dụ lý thuyết số, hay hình đại số, hay tô pô,vv… Một lợi ích của việc đó là tương đương giữa các phạm trù bảo toàn đẳng cấu, nên để kiểm tra hai vật trong phạm trù này có đồng nhất với nhau không, ta xem xét chúng có đồng nhất với nhau ở phạm trù bên kia không. Lý do sâu xa hơn là chẳng hạn ta có khái niệm đẳng cấu nhóm để đồng nhất các vật, nên sau khi định nghĩa phạm trù thì một cách tự nhiên là ta cần định nghĩa thế nào là đồng nhất giữa hai phạm trù. Định nghĩa đúng là khái niệm tương đương giữa hai phạm trù. Những tương đương này đôi khi không tầm thường (thử nghĩ về bài toán phân loại nhóm) nên chứng minh của chúng là điều rất thú vị. Chẳng hạn bài toán Hilbert thứ 21 hoặc chương trình Langlands hình học có thể phát biểu như là tìm cách chứng minh một tương đương giữa hai phạm trù nào đó.

Về việc học phạm trù có giúp học nhanh các mảng toán khác không thì như em nói, mình cần phạm trù giống như mình cần tập hợp vậy: mình định nghĩa nhóm là một tập hợp cùng với phép toán,vv… thì tất nhiên ta cần hiểu tập hợp là gì; còn như mình định nghĩa hàm tử điểm dùng để xác định một đa tạp như là một hàm tử nhất định từ phạm trù các đa tạp sang phạm trù tập hợp, thì tất nhiên mình phải hiểu thế nào là phạm trù hàm tử. Có nghĩa là ta bắt buộc phải học, không học thì không biết gì về hình học đại số/tô pô đại số chứ không còn là chuyện nhanh hay chậm nữa. Việc phân vân học theo kiểu gì nó có thể xảy ra từ thế kỷ 20, chứ bây giờ thì không còn những chuyện như thế nữa rồi. Anh an tâm là đọc bất cứ cuốn sách nào cũng sẽ là top-down, không thể bottom-up được vì ngay từ định nghĩa nó đã như thê. Ngay từ năm nhất những thứ gọi là top-down đó đã xuất hiện, ví dụ như chứng minh hợp thành của ánh xạ tuyến tính là ánh xạ tuyến tính, hợp thành của đồng cấu nhóm là đồng cấu nhóm, hay định nghĩa tích tensor thì sử dụng tính chất phổ dụng. Sau thời điểm này thì chắc sinh viên nào cũng dương như nhận ra bất cứ đối tượng toán học nào được dạy cũng tạo thành một phạm trù, mặc dù họ không biết định nghĩa chính xác của phạm trù là gì. Anh có thể kiểm tra điều này bằng cách đọc cuốn sách đại số tuyến tính của Nguyễn Hữu Việt Hưng. Em nghĩ khi có thời gian anh bắt đầu bằng ví dụ cụ thể mà anh hiểu nó thực sự thì tốt hơn là những bài báo báo không phải trong toán lại đi viết nội dung toán một cách mơ hồ. 

P/S: Có thể không phải tương đương giữa hai phạm trù mà cái anh bị nhầm lẫn với việc phạm trù dịch chuyển định lý là tương tự hoá trong toán học. Em nghĩ anh có thể nghĩ theo nghĩa rộng này chứ đừng có bám vào phạm trù làm gì. Cách nghĩ cơ bản này là mới thứ giúp người ta liên hệ các mảng khác nhau của toán học, ví dụ như Langlands hình học và chương trình Langlands gốc, hình học đại số và hình học giải tích, lý thuyết tập hợp và topos,vv…

Tính det(A) với $A=(sin(i+j))_{1\leq i,j \leq 2017}$

Bạn hãy học gõ latex trước khi đăng bài.

Đoạn này Bằng viết anh thấy về đại ý gần giống với những gì anh được đọc trước đó. Nhưng còn đoạn học dựa trên địa nghĩa thì anh không hiểu lắm:

 

 

Chẳng lẽ category theory chỉ có định nghĩa thôi sao? Theo anh hiểu thì nó như là một lý thuyết tổng quát cho nhiều mảng khác nhau của Toán học, nghĩa là những mảng này đều liên quan (và tương đồng) với nhau thông qua cái nhìn của category theory. Tất nhiên anh chưa học nên không rành, nhưng anh có thể thấy là việc này có nhiều lợi ích. Ví dụ, một đính lý trong một mảng này có thể được "dịch" sang một mảng khác thông qua category, và như vậy ta có thể thu được một định lý mới (hoặc một định lý đã có sẵn, nhưng xem như cách chứng minh là mới, thông qua category theory và kết quả của mảng kia). Đã có trường hợp nào mà category theory giúp phát hiện ra định lý mới như vậy chưa nhỉ? Anh nghĩ chắc là phải có chứ?

Nếu học category theory, thì anh trông đợi là sẽ được học những ví dụ hay làm những bài tập tương tự như vậy. Còn nếu chỉ có định nghĩa, thì học category theory để làm gì? 

 

Đến đây làm nhớ tới một câu mà Dieudonné nói với Grothendieck, đại loại "il ne faut pas généraliser pour le plaisir de généraliser". Cụm từ "abstract nonsense" chắc cũng xuất phát từ việc cho rằng category theory chỉ để trừu tượng hoá lên mọi thứ chứ chẳng dùng được làm gì. Nhưng ngày nay thì đã rất rõ ràng rằng điều đó không đúng (và lưu ý rằng "abstract nonsense" ngày nay được mọi người dùng với nghĩa tích cực chứ không phải tiêu cực).

 

P/s: Về topô đại số thì Nesbit chỉ lấy ví dụ vậy thôi chứ vẫn chưa học tới, còn nhiều thứ phải học mà ít thời gian quá anh em ạ     

Em chia sẻ ý kiến của Bằng chỉ là nếu từ góc độ của một người muốn đi nghiên cứu toán học thì viec chỉ đọc category không (lấy ví dụ như quyển sách của Mac Lane) sẽ không học được gì nhiều lắm. Nó hơi giống như việc tách việc học lý thuyết tập hợp ra khỏi việc học giải tích hoặc đại số vậy: nếu chỉ học lý thuyết tập hợp không thì sẽ rất chán. Nói chung nếu anh cứ đọc bất kỳ một cuốn sách nào đó về hình học đại số hoặc tô pô đại số thì sẽ có lý thuyết phạm trù trong đó, không cần thiết phải học riêng.

Bài viết trên là về phạm trù vô cực, và Emily Riehl là nhà toán học hàng đầu thế giới về lĩnh vực này. Đây mới là lĩnh vực đang được nghiên cứu, còn tính cách mạng của phạm trù đã xảy ra từ giữa thế kỷ 20 rồi. Một lý thuyết về phạm trù vô cực đã được Grothendieck khởi xướng từ những năm 1980, va tới đầu những năm 2000 nó mới được hồi sinh bởi các công trình của Jacob Lurie về hình học đại số dẫn xuất. Phạm trù vô cực bao gồm cả lý thuyết đồng luân nên khó mà lập luận rằng nghiên cứu phạm trù vô cực giống nghiên cứu phạm trù thuần tuý được và nó nên được phân loại là tô pô đại số (đây là cách phân loại của IMU). Cái mà cũng được sử dụng để nghiên cứu đồng luân trong lý thuyết phạm trù thông thường là phạm trù mô hình( đã có ở trên diễn đàn ). Phạm trù vô cực có giúp áp dụng lý thuyết đồng luân vào hình học đại số, nhưng no không phải làm một phạm trù ! 

Về việc học phạm trù từ góc độ "cho vui", em nghĩ đầu tiên anh có thể chọn một lĩnh vực nào đó có sử dụng phạm trù và học phạm trù thông qua lĩnh vực đó. Em nghĩ bên ứng dụng có rất nhiều. Gần với bên máy tính thì em nghĩ có topos do liên hệ của nó với logic.

Bổ sung thêm kinh nghiệm của em với phạm trù: M1 được dạy khi học hình đại số, M2 không được dạy tí nào. Cũng không ai dạy phạm trù theo cách nó dịch định lý từ lĩnh vực này sang lĩnh vực kia để phát hiện ra đinh lý mới được vì nói thực toán học mà chỉ như thế thì dễ quá =), ai cũng thành nhà toán học cả. Điều cỗi lõi vẫn là nội dung số học/hình học mà mình đang quan tâm. 

Cháu nói thực là bác viết không có đầu có đuôi gì cả. Cháu không có thời gian để cố gắng đọc để hiểu ý của người khác, vì bác có dành thời gian của mình để giúp người đọc đâu để cháu dành thời gian cho bác ? 

Chủ đề này mình sẽ không xoá vì giờ có chứa các thông tin khác. 

Xin trả lời bạn Nxb như sau:

Bài của tôi là về làm thế nào để việc áp dụng vận trù học ở Việt Nam được tốt hơn, không phải là ở nơi nào khác trên thế giới.  Câu trả lời của tôi và hỏi lại bạn cũng là về áp dụng vận trù học ở Việt Nam.  Không biết tại sao bạn lại viết: "Cháu không phải trẻ con nên bác đừng có đánh lạc hướng kiểu như vậy bác ạ".  Nếu bạn không biết gì về tình hình áp dụng vận trù học ở Việt Nam thì tốt nhất nên viết là không biết, không nên trả lời kiểu như vậy.

Thông tin này hoàn toàn trái ngược với những gì mình thấy ở VIASM. Nếu bác không đưa ra được dẫn chứng là vận trù học không được áp dụng nhiều vào thực tế như những năm 1960 trong 48h tới thì mình sẽ xoá bài này để tránh lan truyền fake news.

https://arxiv.org/abs/1703.07842 Gần đây có bài này của Clausen chứng minh luật thuận nghịch Artin bằng stable $\infty$-category ( nhưng không thấy đăng ở đâu ?). 

Chứng minh rằng: Nhóm $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ có cấp vô hạn nhưng mọi phần tử có cấp hữu hạn.

Lấy một phần tử trong $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ đại diện bởi $\frac{a}{b}, b>0$ thì phần tử này sẽ có cấp $\leq b$. Nhóm này vô hạn vì $\mathbb{Q}\cap [0,1)$ song ánh với $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, cho bởi ánh xạ $x\mapsto [x].$  

bạn có cách nào để chứng minh cái công thức màu xanh ko á?

Tập $HK$ có thể phân tích thành hợp rời của những tập có dạng $xK$, với $x\in H.$ Như vậy $|HK|$ sẽ bằng với tập $|K|$ nhân với số lượng các tập $xK, x\in H.$ Nếu đặt $S=\{xK \mid x\in H\}$ thì có một tác động của $H$ lên tập $S$ cho bởi $(y,xK)\mapsto yxK.$ Ta thấy tác động này có một quỹ đạo duy nhất chứa $H$ nên số phần tử của tập $S$ bằng với số phần tử của quỹ đạo này. Số phần tử của quỹ đạo này bằng với chỉ số của nhóm dừng của $H$. Theo định nghĩa, nhóm dừng của $H$ là tập

$$\{x\in H \mid xK=K\}=|H\cap K|.$$

Do đó chỉ số của nhóm dừng trong $H$ là $\frac{|H|}{|H\cap K|}$ và như vậy $|HK|=\frac{|H|}{|H\cap K|}.|K|.$

Có thể chứng minh công thức này mà không cần dùng tác động nhóm, nhưng tác động nhóm cho mình một setting chung để đếm một số đối tượng kiểu này.

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Chứng minh $det(A) = det(A^T) \quad(*)$

+Với $n = 2$

\[\begin{array}{l}
\det \left( A \right) = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}\\
\det \left( {{A^T}} \right) = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{21}}{a_{12}}\\
 \Rightarrow \det \left( A \right) = \det \left( {{A^T}} \right)
\end{array}\]

 

Giả sử (*) đúng với $n = k$ (1). Với $n = k + 1$, ký hiệu $A_{ij}$ là ma trận bù $a_{ij}$. Dễ thấy $(A_{11})^T = (A^T)_{11})$
$$(A_{1j})^T = (A^T)_{j1} \forall 1\leqslant j\leqslant n$$
Khai triển tính $det(A)$ theo hàng 1
\[\det \left( A \right) = \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{1 + j}}{a_{1j}}\det \left( {{A_{1j}}} \right)} \quad \left( 2 \right)\]
Khai triển tính $det(A^T)$ theo cột 1
\[\det \left( {{A^T}} \right) = \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{1 + j}}{a_{1j}}\det \left( {{{\left( {{A^T}} \right)}_{j1}}} \right)}  = \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{1 + j}}} {a_{1j}}\det \left( {{{\left( {{A_{1j}}} \right)}^T}} \right) \quad \left( 3 \right)\]
Từ $(1), (2), (3)$ suy ra (*) đúng với $n = k + 1$
Vậy (*) đúng với mọi $n \geqslant 1$.

Có thể chứng minh cái này bằng công thức khác của định thức mà thực ra công thức này có thể được dạy như là công thức đầu tiên của định thức: nếu $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ thì

$$det(A)=\sum_{\sigma\in S_n} sgn(\sigma) a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}.$$

Như vậy $det(A^t)=\sum_{\sigma \in S_n}sgn(\sigma)a_{\sigma(1)1}\dots a_{\sigma(n)n}=\sum_{\sigma\in S_n} sgn(\sigma)a_{1\sigma^{-1}(1)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)}.$

Do $sgn(\sigma)=sgn(\sigma^{-1})$ nên tổng cuối cùng trong đẳng thức trên cũng là $det(A).$

Em nghĩ nguyên gốc của từ "phỏng vấn" đã bị thay đổi theo cách hiểu đại trà hơn, em nghĩ dùng "phỏng vấn" sâu sắc hơn với "giả thuyết" hay "phỏng đoán" (theory / heuristics).

Từ conjecture được dịch là giả thuyết từ lâu, trước cả khi bố mẹ mình được sinh ra, không thể tự tiện thay đổi mà không có lý do rõ ràng được. 

Em hiện tại là học sinh lớp 8 tuy nhiên em không được tiếp cận về phần Số học để ôn thi HSG. Mọi người có tips nào để học mảng này và có tài liệu nào từ cơ bản đến nâng cao thì chia sẻ cho em với được không ạ ? Em cảm ơn mọi người

http://www.numberthe...org/ntw/N4.html Trang này có liệt kê các lĩnh vực và có rất nhiều tham khảo hữu ích tương ứng.

Lớp 8 kiến thức còn ít nhưng vẫn có rất nhiều lựa chọn tốt, chẳng hạn em có thể bắt đầu với quyển sách này https://www.math.bro...ilve/frint.html

Mình mở chủ đề này để các thành viên có thể vào đây để thực hành cũng như đăng bài tập cho chủ đề đường cong và mặt đại số https://diendantoanh...à-mặt-đại-số/. 

Bài 1. Cho $F$ và $G$ là hai đa thức thuần nhất bậc 2 hệ số phức có chung tập nghiệm. Chứng minh rằng tồn tại $\lambda \in \mathbb{C}$ sao cho $F=\lambda G$.

Em thấy GS Đàm Thanh Sơn vẫn dịch trên blog là "rối lượng tử".

Anh theo cách dịch trong bài này chủ quan vì không có nhiều thời gian. Có lẽ bây giờ tham khảo được cuốn sách cơ học lượng tử nào đó ở Việt Nam và theo cách dịch đó là tốt nhất.

Em thích cách dịch "quantum entanglement" thành "liên đới lượng tử", hơn là "chồng chập lượng tử" như thường thấy

Anh không biết có cách dịch chồng chập lượng tử. Anh xem trên mạng để xem dịch thế nào thì thấy “vướng víu lượng tử” vướng quá nên anh chọn cách dịch liên đới lượng tử của wiki.