Khi a=b=c= -1 thì  bđt Sai  

Bài 3 đơn giản nên mình nuốt luôn: Dựng $OI\perp d$ nên dễ dàng chứng minh được AB+AC=2AI $\leq 2AO$.Kết thúc chứng minh

Bài 3 làm nốt: $PT\Leftrightarrow x^{2}(y+2)+1-y^{2}=0\Leftrightarrow x^{2}(y+2)+(4-y^{2})=3\Leftrightarrow (x^{2}+2-y)(2+y)=3$.đến đây thì chỉ còn việc xét ứơc

Tham khảo lời giải tại Đây

Sao thấy dấu "=" không trùng với cách C-S nhỉ?

Hình như không tương tự đâu.

Mình có cách khác chẳng biết có đúng không nữa?

Áp dụng BDT Shwarz ta có:

$$\sum \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3} \geq \sum\frac{(1+1+1)^2}{a+b+c+3}=\sum \frac{9}{a+b+c+9}$$

Ta cần chứng minh:
$$\sum \frac{9}{a+b+c+9} \geq \sum \frac{3}{a+b+c+1}$$

Ta có:

$\frac{9}{a+b+c+9} \geq \frac{3}{a+b+c+1}$

$\Leftrightarrow$ $a+b+c \geq 3$

Ta có 4 BDT tương tự nên cộng vào ta có:

$3(a+b+c+d) \geq 12$

$\Leftrightarrow$  $a+b+c+d \geq 4$ (điều này hiển nhiên đúng vì $a+b+c+d \geq 4\sqrt[4]{abcd}=4$)

...

Trình bãy rõ đi.Cái tổng hoán vị đó mấy biến đó bạn /?

Vì $x,n$ nguyên dương nên từ (*) $\Rightarrow x$ lẻ và $n\ge2$

(*) $\Leftrightarrow (x+1)(x^2-x+3)=2.(2^{n-1}+1)$ (**)

Vì x lẻ nên $(x^2-x+3)$ cũng lẻ và $(x+1)$ chẵn. Mà $(2^{n-1}+1)$ lẻ do đó từ (**) suy ra $x+1=2$ và ta được $x=1$.

Thay $x=1$ vào (*) suy ra $n=2$.

Vậy ta có (x,n)=(1,2) là nghiệm nguyên duy nhất của (*).

Chưa hẳn vậy.nếu x+1 =4hoặc 6,8  vẫn đảm bảo là số chẵn mà

Nếu vậy phải giải làm sao ạ?

Em cảm ơn.

để anh trình bày, câu này hơi trâu tí em cố gắng hiểu nha. Kí hiệu $\sum$ là tổng hoán vị nhé:

Ta có: $a+b\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{2}$ (bđt C-S) nên$VT=\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq \sum \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}\sqrt{c}}=\sum \left [\frac{ \sqrt{a}}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}) \right ]\geq \sum \left [ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}.\frac{4}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \right ]=\sum \left [ \frac{2\sqrt{2}\sqrt{a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \right ]\geq \sum \frac{2\sqrt{2}\sqrt{a}}{\sqrt{2(b+c)}}=2\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}$

Vế cuối của dòng đỏ đó sao anh lại suy ra được!?

Thì 2 số có tổng chia hết cho 2 thì cả 2 đều lẻ hoặc đều chẵn mà tích 2 số đó chia hết cho 2 nên  cả 2 số phải đều chẵn nên a+b+c+d là số chắn

Bài này anh làm nốt:

Ta có:$a^{2}-b^{2}=c^{2}-d^{2}\Leftrightarrow a^{2}+d^{2}=b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow (a+d)^{2}+2ad=(b+c^{2})+2bc\Leftrightarrow (a+d)^{2}-(b+c)^{2}=2(bc-ad)\Leftrightarrow (a+b+c+d)(a+d-b-c)=2(bc-ad)$ nên$(a+b+c+d)(a+d-b-c)\vdots 2$ mà $(a+b+c+d)+(a+d-b-c)\vdots 2$ nê $(a+b+c+d)\vdots 2$  nên a+b+c+d là hợp số

Anh xin làm:

đặt $f_{(x)}=ax^{2}+bx+c$. Biến đổi tương đương ta sẽ có: 2ax-(a-b)=x. vì biến đổi trên mới mọi x thay đổi nên a=b=$\frac{1}{2}$.Từ điều này ta tìm được đa thức đó.

Lớp 7 thì chưa nhưng lớp 8 rồi,cậu cứ giảng đi,tớ học được kha khá lớp 8 rồi,nhưng chỉ học lướt thôi cậu giảng để tớ xem tớ có hiểu không nhé

Cái này 1 cách liên quan đến đường tròn là áp dụng công thức $S=\frac{a.b.c}{4R}$.

Cách thứ 2 sử dụng công thức lượng giác thì cả hai đều chưa học 

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho a; b; c>0.Chứng minh: $\frac{\sqrt{a+b}}{c}+\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{2}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}})$

Mình đang học lớp 8.

Thanks.

P/s:hình như đề sai vì mình thấy hai vế không đồng bậc. Minh nghĩ vế trái nên là:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}$

Không biết có đúng ko. Mong các bạn thẩm định.

Thanks a lot.

Hình như VT như em nói.

Bài này mình xin làm, chắc kiến thức này lớp 8 vẫn hiểu:

Bđt $\Leftrightarrow \frac{xyz+1}{xy+x}+\frac{xyz+1}{yz+y}+\frac{xyz+1}{zx+z}\geq 3\Leftrightarrow \frac{xyz+1}{xy+x}+1+\frac{xyz+1}{yz+y}+1+\frac{xyz+1}{zx+z}+1\geq 6\Leftrightarrow \frac{xyz+1+xy+x}{x(y+1)}+\frac{xyz+1+yz+y}{y(z+1)}+\frac{xyz+1+xz+z}{z(x+1)}\geq 6\Leftrightarrow \frac{xy(z+1)+(x+1)}{x(y+1)}+\frac{yz(x+1)+(y+1)}{y(z+1)}+\frac{zx(y+1)+(z+1)}{zx(x+1)}=\frac{y(z+1)}{y+1}+\frac{x+1}{x(y+1)}+\frac{z(x+1)}{z+1}+\frac{y+1}{y(z+1)}+\frac{z(x+1)}{z+1}+\frac{y+1}{y(z+1)}\geq 6$ (Áp dụng bđt AM-GM cho 6 số).Vấn đề đã đc giải quyết   

Cô giáo mình bảo nếu là cuối lớp 8 thì sẽ làm dễ hơn nhưng mình chưa học đến lớp 8 nên các bạn giúp mình cách nào dễ hiểu nhất nhé,cảm ơn các bạn nhiều.

Đề bài:Cho tam giác ABC trực tâm H.Cmr:(BH.CH)/(AB.AC)+(CH.AH)/(BC.BA)+(AH.BH)/(AC.BC)=1

Bài 2:chi tam giác abc,trung tuyến BD,các đường trung tuyến AM,Bn của tam giác ABD cắt nhau ở I.Cm:DI=1/3 BC

Cảm ơn các bạn,mình mới tham gia nên chưa biết gõ Latex

Lớp 7 học tam giác đồng dạng chưa em nhỉ.Nếu học rồi mới làm được không sẽ khó hiểu nếu chưa từng đọc

Theo mình cần có dữ kiện là viết thành tổng của bao nhiêu số nguyên.vì đây là cơ sở để áp dụng bđt AM-GM tìm MAx của tích khi tổng không đổi   

Bài này dễ thôi mà: $PT\Leftrightarrow x^{2}+2xy+y^{2}+4y^{2}+4y=13\Leftrightarrow (x+y)^{2}+(2y+1)^{2}=14$. đến đây thì dễ rồi mà

Hình như ông lầm rồi Cường, chắc nhầm dấu phần nguyên với dấu giá trị tuyệt đối rồi.

 

Bổ đề : Ta luôn có $[2x]$ bằng $2[x]$ hoặc $2[x] + 1$

Chứng minh :

• Nếu $\left \{ x \right \}<0,5$


•  

Thì $2x-2[x]=2\left ( [x] +\left \{ x \right \}\right )-2[x]=2\left \{ x \right \}<1\Rightarrow 2x<2[x]+1$

Mặt khác hiển nhiên $2[x]\leq 2x$

Tức là $2[x]\leq 2x<2[x]+1\Rightarrow [2x]=2[x]$

• Nếu $\left \{x \right \}>0,5$


•  

Thì $2x-2[x]=2\left \{ x \right \}>1\Rightarrow 2[x]+1<2x$

Mặt khác luôn có $\left \{ x \right \}<1\Rightarrow 2x-2[x]=2\left \{ x \right \}<2\Rightarrow 2x<2[x]+2$

Tức là $2[x]+1<2x<2[x]+2$

Suy ra $[2x]=2[x]+1$

Trở lại bài toán :

• Trường hợp 1 : $[2a] = 2[a]$ và $[2b] = 2[b]$ :


•  

Điều cần chứng minh viết thành :

$[a]+[b]+[a+b]\leq 2[a]+2[b]\Leftrightarrow [a+b]\leq [a]+[b]$

Thật vậy, $0\leq \left \{ a \right \},\left \{ b \right \}<1\Rightarrow 0\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}<2$

- Nếu $0\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}<1$

Thì $[x+y] = [x]+[y](=x+y)$

- Nếu  $1\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}<2$ thì $0\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}-1<1\Rightarrow 0\leq (a+b)-([a]+[b]+1)<1\Rightarrow [a]+[b]+1\leq a+b\leq [a]+[b]+2\Rightarrow [a+b]=[a]+[b]+1$

Tóm lại là ta luôn có $[a]+[b]\leq [a+b]$

Trường hợp này được chứng minh

• Trường hợp 2 : $[2a]=2[a];[2b]=2[b]+1$


•  

Điều cần chứng minh viết thành : $2[a]+2[b]+1\geq [a]+[b]+[a+b]\Leftrightarrow [a+b]\leq [a]+[b]+1$.

Hiển nhiên đúng vì đã có $[a]+[b]\leq [a+b]$

• Trường hợp 3 :$[2a]=2[a]+1;[2b]=2[b]$


•  

 

Tương tự trường hợp 2

• Trường hợp 4 : $[2a]=2[a]+1;[2b]=2[b]+1$


•  

Điều cần chứng minh viết thành : $[a+b]\leq [a]+[b]+2$

Hiển nhiên đúng vì đã có $[a]+[b]\leq [a+b]$

 

Ta có đpcm. 

Nản hầy.Phần nguyên này thì không quen.  

Bài này 1 cách là dùng đạo hàm nhưng có lẽ bạn chưa học nên mình không sử dụng

Cách thứ 2 hoàn toàn tương tự đây

Câu bđt ở đây

Nếu a hoặc b có 1 sô bằng 1 thì $a+b=2012^{2013}+1$ đâu có chia hết hết cho 2012

Nếu $a,b\neq 1\Rightarrow a+b\vdots 2012$

đề bài hỏi là a+b có thể chia hết cho 2012 mà.mình trả lời là có thể thôi   

Sao câu hỏi hơi vô lý vì nếu $a=2012^{2012}, b=2012$ thì a+b rõ ràng chieu hết cho 2012 mà

Bài này mình xin làm: Ta có: Xét $a,b\geq 0$ và $a,b\leq 0$ thì ta dễ dàng mở ngoặc và dấu bằng xảy ra

Xét $a>0>b$  thì bđt trở thành $2a-2b\geq a-b+\begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}\Leftrightarrow a-3b\geq \begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}$. Xét $\left | a \right |\geq \left | b \right |\Rightarrow a+b\geq 0\rightarrow \left | a+b \right |=a+b$ nên bđt trở thành $a-3b\geq a+b\Leftrightarrow -4b\geq 0$ luôn đúng vì b<0.Xét $\left | a \right |<\left | b \right |\Rightarrow \left | a+b \right |=-a-b$ nên bđt trở thành $a-3b\geq -a-b\Leftrightarrow 2a-2b\geq 0\Leftrightarrow a\geq b$ luôn đúng theo giả sử trên.Vậy bđt hoàn tất chứng minh

 Cho mình hỏi vì sao có thể biến: (a,b,c,d)=($\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{ 2}};\frac{da}{b^{2}}$ )

Thì thế vần đảm bảo được abcd=1 thôi.đây là cách biến rồi thường được sử dụng khi cho tích =1

Bài này mình xin làm:

ĐKXĐ: $x\geq -5$

Ta có: $PT\Leftrightarrow 2(2x+1)^{2}-1=\sqrt{x+5}$. đặt $2y+1=\sqrt{x+5}$.Ta có hệ PT: $\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+8x+1=2y+1 & \\ 8y^{2}+8y+1=2x+1& \end{matrix}\right.$. đây là hệ pt đối xứng và cách giải nó cơ bản rồi

Đây là 4 dạng trung bình của 2 số $x,y$: trung bình cộng (arithmetic mean), trung bình nhân (geometric mean), trung bình điều hoà (harmonic mean), giá trị hiệu dụng (quadratic mean) nhưng tất cả đều tuân theo dạng trung bình tổng quát (generalized mean), các bạn có thể tham khảo tại đây.

 

Vì vậy, nếu chọn $x=y=\alpha, \alpha > 0$ thì ta có:

 

$\frac {x+y} {2}=\frac {\alpha+\alpha} {2}=\alpha$

 

$\sqrt {xy} =\sqrt{\alpha^{2}}=\alpha$

 

$\frac {2xy} {x+y} = \frac {2\alpha^2} {2\alpha} = \alpha$

 

$\sqrt{\frac {x^{2} + y^{2}} {2}} = \sqrt{\frac {2\alpha^{2}} {2}} = \alpha$

 

Rõ ràng khi $x=y$ thì các trung bình của chúng đều bằng nhau.

 

Vậy $\alpha+\alpha+\alpha+\alpha=66 \Leftrightarrow\alpha=\frac{66}{4}$

 

Thử lại thấy đúng, vậy $\exists x=y=\frac{66}{4}$ thoả yêu cầu đề bài

Nếu thế trong trường hợp x và y khác nhau thì sao nhỉ