Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

Giải phương trình :

$4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Cho tam giác ABC có AB=c, CA=b,BC =a và min(A,B,C)= 15⁰. Chứng minh $\sqrt{ab},\sqrt{bc},\sqrt{ca}$ cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số nguyên thỏa mãn :

$P(x).P(x^{2})=P(x^{3}+3x)$

Cho dãy số (U_n) xác định bởi $\left\{\begin{matrix} U_{0}=a, U_{1}=b, 0< a,b < 1& \\ U_{n+2}=\frac{1}{3}U_{n+1}+\frac{2}{3}\sqrt{U_{n}}, n=0,1,2,... & \end{matrix}\right.$

Tìm $lim U_{n}$.

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện $0<x\leq 2\pi$ ; $0<y\leq 2\pi$

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}+sinx=m & \\ \frac{y}{x}+siny=m & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình $\frac{2x+3}{x^{2}-4}=\sqrt{x+1}$

1. Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^{2}+2y^{2}-2xy=1$

Tìm GTNN, GTLN của $P=\frac{1+xy-y^{2}}{1+3xy-y^{2}}$

2. Cho x,y $\epsilon$ R sao cho $x^{2}+xy+y^{2}\leq 3$

Tìm GTNN, GTLN của $P=x^{2}-xy+2y^{2}$

$x_{1},x_{2},x_{3}$ > 0 là 3 nghiệm của phương trình :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 (a\neq 0)$. Chứng minh $x_{1}^{7}+x_{2}^{7}+x_{3}^{7}\geq -\frac{b^{3}c^{2}}{81a^{5}}$

Cho dãy số {x_k} xác định bởi : x_k = $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{k}{(k+1)!}$ $(k\geq 1)$

Tìm $Lim\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+..+x_{2012}^{n}}$

Chứng minh rằng nếu phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0$ có nghiệm thì : $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{4}{3}$

cho x, y thỏa mãn $x^{2} + 4y^{2} = 25$. tìm GTLN và GTNN của x + 2y

Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có :

$(x+2y)^{2}\leq 2.(x^{2}+4y^{2})=50 \rightarrow -5\sqrt{2}\leq x+2y\leq 5\sqrt{2}$

KL : ...

$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=(x-y)[4(x-y)^{2}-15]\leq 3(4.3^{2}-15)=63$

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}-1=abc$, Tìm GTNN của: P=$a^{2}+b^{2}+c^{2}$.

Ta có $n^{3}+2\equiv 2(mod4)$ hoặc $n^{3}+2\equiv 3(mod4)$

Mà $2016\equiv 0(mod4)$ => đpcm

Cho x,y,z > 0, xyz=1. Chứng minh :$\frac{x^{m}}{y^{n}}+\frac{y^{m}}{z^{n}}+\frac{z^{m}}{x^{n}}\geq x+y+z$

Cho a,b,c > 0. Chứng minh $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2abc+1$

Tìm GTLN của $P=(a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)$

Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=1$ và $c+d=4$

Tìm GTLN của $P=ac+bd+cd$

Cho các số thực x,y,z. Chứng minh rằng :

$\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+xz)}\leq \frac{3+\sqrt{3}}{9}$

Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1, tìm GTLN của $\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}$

@Dinh Xuan Hung:Chú ý cách đặt tiêu đề

Cho các số thực x,a,b,c thỏa mãn x+a+b+c=7 và $x^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=13$. Tìm GTLN và GTNN của x

Cho các số thực x,y với $y\geq 2$ . Tìm Min P = $x^{2}+\frac{1}{y}-6x+y+\frac{1}{2}$

$P=(x-3)^{2}+\frac{1}{y}+\frac{y}{4}+\frac{3y}{4}-\frac{17}{2} \geq 1+\frac{3.2}{4}-\frac{17}{2}=-6$

Vậy min P = -6 và đạt đc <=> x=3, y=2

Cho $a,b,c$ dương thoả $abc=1$. Tìm $Min$ của $A=\frac{a^{2}}{1+b}+\frac{b^{2}}{1+c}+\frac{c^{2}}{1+a}.$

$A\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3+a+b+c}$

Đặt a + b+c = t, $t\geq 3$

$\frac{t^{2}}{3+t}\geq \frac{3t-3}{4}\Leftrightarrow (t-3)^{2}\geq 0 \Rightarrow A\geq \frac{3.3-3}{4}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

Giải hệ PT $x+\frac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3$ $\wedge   y-\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}$=0