Câu 1 $\sqrt{x^2-x+1}=\frac{x^3+2x^2-3x+1}{x^2+2}$

Câu 2 $(1+\frac{1}{x})\sqrt{x^2+2x+2}+(1-\frac{1}{x})\sqrt{x^2-2x+2}$

Câu này thế nào mọi người : 

Câu 1:$\sqrt{x^2-x+1}=\frac{x^3+2x^2-3x+1}{x^2+2}$

Câu 2: $(1+\frac{1}{x})\sqrt{x^2+2x+2}+(1-\frac{1}{x})\sqrt{x^2-2x+2}=5$

BĐT 3:
Cho $a,b \in R;n \in {N^*}$. Chứng minh rằng: \[\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n}\]

Chứng minh:
Trước tiên ta xét: $$f(x) = {x^n} + {(c - x)^n};c > 0,n \in {N^*}$$.
Ta có: $f'(x) = n{x^{n - 1}} - n{(c - x)^{n - 1}}$;$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{c}{2}$. Lập BBT.
\[BBT \to f(x) \ge f\left( {\dfrac{c}{2}} \right) \Leftrightarrow {x^n} + {(c - x)^n} \ge 2{\left( {\dfrac{c}{2}} \right)^n}\]
Chọn $x = a;c = a + b$ ta có:\[{a^n} + {b^n} \ge 2{\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n}\]

BĐT trên là BĐT tổng quát giúp ta dễ nhớ.
Từ BĐT trên ta có thể thay n=2,3,4...
Sẽ được một số BĐT phụ khá hữu ích. ( cái mà ta muốn nói đến)
$\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3}$ ; $\dfrac{{{a^4} + {b^4}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^4}$ ....

cái này áp dụng đc với 3 số không ?

Hình như bộ soạn thảo LateX không dùng được ạ

S=   +  +...+ .Tính tổng S

làm 

 

 

Mình xin gửi ý tưởng của mình, vì ý tưởng này về sau vẫn chưa hoàn thiện nên mong các bạn đóng góp, hoàn thiện giúp mình ý tưởng...

 

 

ĐK: $y \not = 0$

 

(2) $\iff (y+2)(x^2+y^2-1)=0$

 

$\iff y=-2$   v   $x^2+y^2=1$

 

Với $y=-2$ thay vào (1) ta có: 

 

$\iff 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2+4)$

 

$\iff 4(x^2+1)-4=(\sqrt{x^2+1}=1)(x^2+1+3)$

 

Đặt $\sqrt{x^2+1}=a$

 

$\iff 4a^2-4=(a+1)(a^2+3)$

 

Giải pt bậc 3 với ẩn a...

 

Với $x^2+y^2=1 \iff x^2=1-y^2$

 

(1) $\iff 4(1-y^2)=(\sqrt{2-y^2}+1)(-y^3-y^2+3y+3)$

 

$\iff 4(1-y)(1+y)=(\sqrt{2-y^2}+1)(y+1)(3-y^2)$

 

$\iff (y+1)[(\sqrt{2-y^2}+1)(3-y^2)-4+4y]=0$

 

$\iff y=-1$   v   $(\sqrt{2-x^2}+1)(3-y^2)+4y-4=0$

 

Với $y=-1 \iff x^2=1-1=0 \iff x=0$

 

Với $ (\sqrt{2-x^2}+1)(3-y^2)+4y-4=0$....

 

Pt này có 1 nghiệm vô tỉ và nghiệm vô tỉ của pt này cũng chính là nghiệm của hệ...

 

thế nào mà phân tích được như vậy ??? 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}+\frac{a^2}{4}$ với 0$\leq a\leq 1$

dùng bu-nhi dễ hơn

. Mọi người giúp em với ( nhất là bất đẳng thức đấy ạ )

Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là điểm tùy ý. Gọi A₁,B₁,C₁ lần lượt đối xứng của M qua các trung điểm I,J,K của các cạnh BC,CA,AB.

a) Chứng minh rằng AA₁,BB₁,CC₁  đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn ( gọi là điểm O) 

b) chứng minh M,O,G thẳng hàng

em cảm ơn mọi người ạ. Câu cuối em sẽ post sau

Áp dụng định lý hàm sin hay cos sau đó giải hệ với hai ràng buộc là \widehat{A} = \widehat{B} + 2\widehat{C} và các cạnh là các số tự nhiên liên tiếp 
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R 
\frac{a - 1}{\sin A} = \frac{a}{\sin B} = \frac{a + 1}{\sin C} = 2R 
Thế \widehat{A} = \widehat{B} + 2\widehat{C} vào giải tìm được a => 3 cạnh của tam giác cần tìm

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$ với mọi $n\epsilon N$, n > 0.
$a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...+a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})$ với mọi $n\epsilon N$, n > 0, n lẻ.

hệ số đâu hết rồi bạn 

Câu 1: cho x,y,z khác 1 sao cho xyz=1. Chứng minh :$\frac{x^2}{(x+1)^2}+\frac{y^2}{(y+1)^2}+\frac{z^2}{(z+1)^2}\geq 1$

Câu 2:  cho a,b,c>0. Chứng minh $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}<\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{b^2+a^2}$

Câu 3: Cho $a,b,c \epsilon \left [ 0;1 \right ]$ Chứng minh :

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{b+a+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

BĐT tương đương với $\sum (\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c})>0$.

$$\sum \frac{a^2(b+c)-a(b^2+c^2)}{(b+c)(b^2+c^2)}=\sum \frac{a[b(a-b)+c(a-c)]}{(b+c)(b^2+c^2)}$$

$$=\sum (a-b) \left( \frac{ab}{(b+c)(b^2+c^2)}-\frac{ab}{(c+a)(c^2+a^2)} \right)=\sum ab(a-b)\frac{(c+a)(c^2+a^2)-(b+c)(b^2+c^2)}{(b+c)(c+a)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$$

$$=\sum ab(a-b)\frac{(a-b)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(b+c)(c+a)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}=\sum (a-b)^2.\frac{ab(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(b+c)(c+a)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$$

Vì $a,b,c$ nên BĐT hiển nhiên đúng.

cho hỏi, làm sao bạn nghĩ đc ra cách này vậy ?

không chỉ có x=y đâu bạn ,,,, còn có TH nữa mà

hình như trường hợp ý ko đc

lấy hai phương trình trừ cho nhau và dùng hằng đẳng thức ta được x=y. Sau đó thế vào một trong hai phương trình để tìm x( hoặc y) thì được x=1 và x=-0,5. Thực sự xin lỗi không làm chi tiết cho bạn được vì mạng nhà mình yếu không gõ được công thức toán. vậy nên bạn cố gắng nhé

bài toán không có điều kiện gì thêm nên chắc vẫn được mà ,,,bạn thử

Th 2 ko được nhé, bạn cứ giải ra và chứng minh được nó lớn hơn 0

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau :

$a) y(x-1)=x^2+2$

$b)2^x-3=65y$

$c)x!+y!=10z+9$

$d)x^2+y^2+z^2=x^2y^2$

Câu 1: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+(x+y+z)^2\leq 4$

Chứng minh : $\frac{xy+1}{(x+y)^2}+\frac{yz+1}{(y+z)^2}+\frac{zx+1}{(z+x)^2}\geq 3$ .

Câu 2: Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh : $\frac{\left | b-c \right |}{a+b}+\frac{\left | c-a \right |}{b+c}+\frac{\left | a-b \right |}{c+a}< 2$ 

Cho các số thực a;b;c thuộc (0;1). Chứng minh rằng :$\sqrt{abc}+\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}<1$.

Cho a,b dương thỏa mãn a^2+b^2=1. Chứng minh $a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$

Cho a,b,c dương tùy ý. chứng minh : $a+b+c\leq 2(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b})$

Tìm số dư của $2005^{2005}:11$

ID//AB( cùng vuông góc với OB) => DIC=ABC mà ABC=DHC =>IHCD nội tiếp = >IHD=ICD mà ICD=BEK =>IHK=BEK=>IH//EF Áp dụng ta let=>ID=IF
P/s:máy mình không sd được latex 

Nếu chứng minh EF// IH thì mình cũng làm được rồi. Nhưng mà khó là mình không suy ra được tỉ số nào có liên quan tới ID và IF cả. Bạn giải chi tiết hơn phần cuối được không ? 

Bài 1 Giải phương trình : $x^3-3x+1=\sqrt{8-3x^2}$. 

Bài 2 $2x^4-3x^3-14x+16=(28-4x^3).\sqrt{2x^3-15}$

Bài 3 $\sqrt{\frac{3}{x}+x}=\frac{x^2+7}{2(x+1)}$

Mọi người giúp em giải quyết 3 bài toán này càng nhanh càng tốt ạ. Em xin cảm ơn !!!

Câu 1: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+\frac{8xy}{x+y} &=16 & \\ \frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}&=\sqrt{\frac{x^3}{3y}+\frac{x^2}{4}}-\frac{y}{2} & \end{matrix}\right.$

Câu 2: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{y(x^2+3)+4}-x\sqrt{y+1} &=1 & \\ x^3+x-4&=3\sqrt{y+1} & \end{matrix}\right.$

Không phiền nếu mọi người chia sẻ kinh nghiệm giải hệ những phương trình khó như thế nào. Cảm ơn ạ !!!