Bài này có thể giải bằng định lý Pascal

Vâng em cảm ơn, cơ mà em đang nghĩ đến cách sơ cấp nhất có thể, phù hợp với kiến thức lớp 9 thôi ạ 

E,F ở đâu vậy bạn?

Sr bạn, mình gõ thiếu chính xác, đính chính lại: $ BM $ cắt $ (O) $ tại $ E $, $ CM $ cắt $ (O) $ tại $ F $.

$ \textbf{Bài toán} $ Cho $ \Delta ABC $ nội tiếp $ (O) $ có phân giác $ AD $ cắt $ (O) $ tại $ D $. Gọi $ M $ là 1 điểm bất kì trên $ AD $, $ BM, CM $ cắt $ (O) $ tại $ E, F $. $ EF $ cắt tiếp tuyến của $ (O) $ tại $A$ ở $ T $.

CMR: $ TM // BC $.

Đặt $ a = x + 2, b = y  +2 , c = z  +2 \Rightarrow x+y+z = 0 $ 

BĐT $ \Leftrightarrow (\sum ab)^2 - 9\sum ab - 9abc + 36 \geq 0 $ 

$ \Leftrightarrow (\sum xy + 12)^2 - 9( \sum xy + 12) - 9(x+2)(y+2)(z+2) +36 \geq 0 $ 

$ \Leftrightarrow  (\sum xy )^2 - 3 (\sum xy) - 9xyz \geq 0 $.

Thay $ z = -x - y $ vào, BĐT có dạng $ (x^2+y^2+xy)^2 + 3(x^2+y^2+xy) + 9xy(x+y) \geq 0 $.

Do $ xy.yz.xz = x^2y^2z^2 \geq 0 $ nên ít nhất 1 số lớn hơn hoặc bằng 0, giả sử là $ xy $.

Áp dụng BĐT quen thuộc $ x^2+y^2 + xy \geq \frac{3}{4}(x+y)^2 \geq 3xy $, ta có  VT  $ \geq 9x^2y^2 + \frac{9}{4}(x+y)^2 + 9xy(x+y) $

Ta chỉ cần chứng minh  $ 9x^2y^2 + \frac{9}{4}(x+y)^2 + 9xy(x+y) \geq 0 $ hay $ [ 3xy + \frac{3}{2}(x+y) ]^2 \geq 0 $ (Đúng).

Bạn có thể AM-GM trực tiếp: 

$ P \geq 2\sqrt{2\frac{ab+bc+ac}{ab+bc+ac} } = 2\sqrt{2} $.

Dấu "=" xảy ra khi $ 2(ab+bc+ac)^2 = 1 $ hay $ ab+bc+ac = \sqrt{\frac{1}{2} } $. 

Ta đưa về giải hệ  $ \begin{cases} a+b = 3-c \\ ab = \sqrt{\frac{1}{2}} + c^2 - 3c \end{cases} $ 

Đề là như vậy à bạn: $ P = 2(ab+bc+ac) + \frac{1}{ab+bc+ac} $ ? 

Ta có $ \frac{4}{3} \geq x^2 + y^2 + z^2 - x - y - z \geq \frac{(x+y+z)^2}{3} - (x+y+z) $

Suy ra $ 0 \geq (x+y+z)^2 - 3(x+y+z) - 4 $ hay $ 0 \geq (x+y+z-4)(x+y+z+1) $

Nếu  $ x+y+z \leq -1 $ và $ x+y+z \geq 4 $ (Vô lí) nên $ x+y+z \geq -1 $ và $ x+y+z \leq 4 $ (đpcm)

Bài 1) Áp dụng BĐT: $ 9(x+y)(y+z)(x+z) \geq 8(x+y+z)(xy+yz+xz) $ 

Bài 2 hình như trong cuốn 1001 bài toán sơ cấp 

Mình từng đăng lời giải, bạn tham khảo ở đây: https://diendantoanh...ác-của-góc-bhc/

Rồi đó bạn, bạn check mail nhé 

Câu 4 Pt 1 $ \Leftrightarrow (x^2 + 1)(x - y - 1 ) = 0  $ 

Câu 2 : Pt (1) $ \Leftrightarrow (y- 3)(x-2) = 0 $ 

Mình nghĩ câu 1 sai đề, có thể pt 2 là $ 3y - \frac{1}{y} = x^3 + x + 1 - \frac{1}{x} $

2. Đặt t = $\sqrt{x^2-x+1}$ thì phương trình tương đương: $(t-x^2+x)(t-x-2)=0$$\Leftrightarrow t=x^2-x \veebar t=x+2$ ...

Cũng tương tự cách mình giải mà, chỉ là bạn có đặt t, mình giữ nguyên thôi 

Bài viết bị trôi mất rồi   

Mình có tìm thấy trên mạng bản PDF của cuốn sách hình học hữu ích của giáo sư Titu Andreescu. Có điều đây là bản tiếng anh, hơi bất tiện nhưng chiệu khó dịch cũng không sao    Do file khá lớn nên các bạn quan tâm có thể để lại mail mình sẽ gửi  .

Mình có tìm thấy trên mạng bản PDF của cuốn sách hình học hữu ích của giáo sư Titu Andreescu. Có điều đây là bản tiếng anh, hơi bất tiện nhưng chiệu khó dịch cũng không sao    Do file khá lớn nên các bạn để lại gmail mình sẽ gửi. 

Gọi $ L $ là giao của $ AM $ và $ EF $. Qua $ L $ kẻ đường thẳng song song với $ BC $ cắt $ AB, AC $ tại $ P, Q $. Khi đó ta có $ L $ là trung điểm $ PQ $, suy ra $ \Delta IPQ $ cân 

Có $ \Delta IFP = \Delta IEQ $ ( ch-cgv ) và $ LIFP, \ LIQE $ nội tiếp $ \Rightarrow  \angle PLF = \angle PIF = \angle EIQ = \angle ELQ $ suy ra $ \overline{F,L,E} $. 

Cách khác của mình tại đây: https://diendantoanh...hức-và-cực-trị/

Áp dụng Cosi:

$ \frac{a^2}{b-1} + 4(b-1) \geq 4a $

$ \frac{b^2}{a-1} + 4(a-1) \geq 4b $ 

Cộng theo vế có $ VT \geq 8 $ 

Vậy Min A = 8 khi a = b = 2.

(Bạn nên học gõ Latex) 

Em có xem ấn phẩm số học của VMF, có bài về số nguyên tố em muốn hỏi ạ: 

(Trang 23/ bài 21) Chứng minh rằng : Nếu $ p $ là số nguyên tố thì $ (p-2)! - 1 \  \vdots \ p $ 

Tiếp tục câu 2

Phương trình tương đương

$ (x^2+2)(x+2) - ( 5x + 3) = (x^2+2)\sqrt{x^2-x+1} $

$ \Leftrightarrow (x^2+2)(x+2- \sqrt{x^2-x+1}) - (5x+3) = 0 $

$ \Leftrightarrow (x^2+2)(x+2- \sqrt{x^2-x+1} - [ (x+2)^2 - (x^2-x+1) ] = 0 $

$  \Leftrightarrow [x^2+2 - ( x + 2 + \sqrt{x^2-x+1} )](x+2 - \sqrt{x^2-x+1}) = 0 $

$  \Leftrightarrow x^2 - x - \sqrt{x^2-x+1} = 0  (1) $ hoặc $ x^2 +2 - \sqrt{x^2-x+1} = 0 $

Để xử lí (1) có thể đặt $ \sqrt{x^2-x+1} = a $ rồi đua về pt $ a^2 - a - 1 = 0 $ 

Xin chém câu 1 rồi đi ngủ 

Xét $ 3 \geq x \geq 1 $. Phương trình tương đương 

$ x^2(3-x) + (x^2 - 2x+3)(\sqrt{2x^2+x+1} + 1) > 0 $

Xét $ 1 \geq x $. Phương trình tương đương

$ (1-x)(x^2 -x+2) + \sqrt{2x^2+x+1}(x^2-2x+3+\sqrt{2x^2+x+1}) > 0$

Vậy $ x \in \varnothing $

Đề có vẻ sai chỗ giả thiết, mình nghĩ phải là $ a^2 + b^2 + c^2 = 3 $. Nếu là vậy thì xin đưa ra cách sau: 

$ \textbf{ Bổ đề } $. Với $ a,b,c > 0 $, ta có : $ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}} $

$ \textbf{ Chứng minh } $. BĐT tương đương $ \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2}  + 2 ( \frac{a}{c}  + \frac{c}{b} + \frac{b}{a}) \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $

Sử dụng AM-GM: $ \frac{a^2}{b^2} + \frac{a}{c} + \frac{a}{c} \geq 3\sqrt[3]{ \frac{a^4}{b^2c^2} } \geq 3\frac{a^2}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $ 

Tương tự, cộng theo vế ta được $ (\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a})^2 \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2} } $ hay 

$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}} $

$ \textbf{ Áp dụng } $. $ VT \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}}  =  \frac{3}{\sqrt[3]{abc} } \geq \frac{9}{a+b+c} = VP $ (ĐPCM).