Cho a,b,c là cạnh của một tam giác và $x-y=1$.CMR  :$xa^{2}+yb^{2}>xyc^{2}$

Tham khảo ở đây nè

https://diendantoanh...37851-7xx447y2/

Cho biểu thức $\frac{sin^{4}x}{a}+\frac{cos^{4}x}{b}=\frac{1}{a+b}$ (với $0^{\circ}< x< 90^{\circ}$;$ab\neq 0$;$a+b\neq 0$)

CMR

$\frac{sin^3 x}{a^{3}}+\frac{cos^{3}x}{b^{3}}=\frac{1}{(a+b)^{3}}$

Cho ABCD nội tiếp (O;R).AB cắt CD tại M,AD cắt BC tại N.(NAB) cắt (MBC) tại K .CMR:$MK^{2}-NK^{2}=MO^{2}-NO^{2}$

Cho tứ giác ABCD có M,N là giao của các cặp cạnh đối AB và CD,AD và BC . AC cắt BD,MN tại I,J.CM $\frac{IA}{IC}=\frac{JA}{JC}$

thông cảm nhé đánh latex lâu nên ms như thế

Ta có:$3x^{2}−18y^2+2z^2+3y^2z^2−18x=27$

$\Leftrightarrow 3x^2−18y^2+2z^2+3y^2z^2−18x−27=0$

$\Leftrightarrow 3(x^2−6^x+9)−18y^2+2z^2+3y^2z^2−54=0$

$\Leftrightarrow 3(x−3)^2−18y^2+2z^2+3y^2z^2=54$

Để pt có nghiệm nguyên thì: $z^2\vdots 3 \Rightarrow z\vdots 3 \Rightarrow z^2 \vdots 9 \Rightarrow z^2 \geq 9$

$\Leftrightarrow 3(x−3)^2 +3y^2 (z^2 −6)+2z^2 =54$

$\Rightarrow54=3(x−3)^2 +3y^2 (z^2 −6)+2z^2 \geq 3(x−3)^2 \leq 12$

$y^2 \leq 4 \Rightarrow y^2 =1$ hoặc $y^2 =4$

Với $y^2 =1\Rightarrow y=1$ pt có dạng :

$3(x−3)^2+5z^2 =72$

$\Leftrightarrow 5z^2 \leq 72$

$\Leftrightarrow z^2 =9  \Leftrightarrow z=3$

$\Rightarrow x=6$

Với $y^2 =4\Rightarrow y=2$ pt có dạng:

$3(x−3)^2 +14z^2 =126$

$\Leftrightarrow 14z^2 \leq 126$

$\Leftrightarrow z^2 \leq 9\Rightarrow z=3$

$\Rightarrow x=3$

Vậy .......

Cho $\Delta ABC$  nhọn $BC=24 cm$ bán kính đường tròn nội tiếp bằng 6 cm ,các đường tròn (D) và (E) có cùng bán kính x tiếp xúc ngoài nhau,cùng tiếp xúc BC,trong đó 1 đường tròn tiếp xúc AB,một đường tròn tiếp xúc AC .Tính x

Cho a,b dương thỏa mãn $a+2b\geq 3$ 

Tìm min $P=\frac{3a^{2}+a^{2}b+\frac{9ab^{2}}{2}+(8+a)b^{3}}{ab}$

a, $\Delta$ ABO vuông tại B nên B,D,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO

    $\Delta$ ACO vuông tại C nên C,D,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO

    Do đó A,B,C,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO 

    Hay ABCO là tứ giác nội tiếp

b,Do DM và DB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau ở D nên OD là phân giác $\widehat{MOB}$

   Tương tự OE  là phân giác $\widehat{MOC}$

   Nên $\widehat{DOE}$= $\frac{\widehat{BOC}}{2}$

   Xét  $\Delta$ ABO vuông tại B có $AB^{2}+BO^{2}=AO^{2}$ (pi-ta-go)

   Mà $OA=R\sqrt{2}$, OB=R

   Suy ra AB=R

   Hay  $\widehat{AOB}$= $45^{\circ}$= $\frac{\widehat{BOC}}{2}$

   Nên  $\widehat{DOE}$= $45^{\circ}$

c+d,Nối B và K, giao của AO và BC là I

Ta có Tam giác ABO vuông cân tại C nên  $\widehat{AOB}$=$45^{\circ}$

Xét (O) ta có $\widehat{KBC}$ là góc chắn cung KC tại B $\epsilon (O)$

Và $\widehat{KOB}$ chắn cung KC tại tâm O

Do đó $\widehat{KBC}$ = $22,5^{\circ}$

Mà AO vuông góc BC tại I nên tam giác ABI vuông cân tại I

Nên$\widehat{ABI}=45^{\circ}$

DO đó BK là phân giác $\widehat{ABC}$

Hay K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Do đó BK=$\frac{AB.AC}{AB+AC+BC}= \frac{R^{2}}{R+R+R\sqrt{2}}=\frac{R}{2+\sqrt{2}}$

Tìm $n\epsilon N*$ để phần nguyên của $\frac{n^3+8n+1}{3n}$ là một số nguyên tố

Tôi nghĩ bài này nên liên hợp hoặc lập phương lên

Cho điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R). vẽ cát tuyến KAB đến đường tròn O sao cho A nằm giữa K và B,d là trung trực của KB.H là hình chiếu vuông góc của O trên d, I là trung điểm OK. tính IH theo R.

Các bác cho em hỏi ngoài forum là fb đg bị sập phải ko ak vì e ko truy cập đc

GPT $x^{2}+8x-1=2(2x+1)\sqrt{2x^{2}-2}$

Vì $x,y,z >0$ và $x\geq y\geq z$ nên 

$x^{3}(y-z)^2+y^{3}(z-x)^2+z^{3}(x-y)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow x^{3}y^{2}+y^{3}z^{2}+z^{3}y^{2}\geq x^{3}yz+y^{3}zx+z^{2}xy$

Chia cả 2 vế cho xyz >0 ta được đpcm

Với $m,n\epsilon Z$ cm $mn(m^4-n^4)\vdots 30$

RGBT $C=\sqrt{\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}+\sqrt{\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{(a^2+b^2)^2}}}$ với $a,b\neq 0;a+b\neq 0$

Cho a,b,c,d >0 tm $abc=a+b+c+2$ CM $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 4(a + b + c)$

Tìm $n\epsilon N$ , $n>1$ để $(n-1)! \vdots n$

Tìm các số $abc$ với các chữ số khác nhau để $9a=5b+4c$

GPT $5(8x^{2}+11)=27(2x+1)\sqrt{3x-2}$

Tìm p,q nguyên sao cho $\sqrt{p-2} + \sqrt{q-3} = \sqrt{pq-2p-q+1}$

Tìm nghiệm tự nhiên cùa phương trình $3^{x}+1=y^{2}$