Pro44. Cho tam giác $ABC, D$ là một điểm cố định trên cạnh $BC, P$ là điểm di động trên $AD, E,F$ là giao điểm của $AB,PB$ và đường tròn đường kính $BD; Z$ là giao của $PC$ và đường tròn đường kính $CD$. Chứng minh rằng $(EFZ)$ đi qua một điểm cố định
anh qua's Content
There have been 23 items by anh qua (Search limited from 06-06-2020)
#386103 Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất sao cho phương trình $x^{12...
Posted by anh qua on 12-01-2013 - 21:30 in Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
$x^{12} + 1 = 4x^4\sqrt{x^n + 1}$.
#441645 $\sqrt{a_{n+5}}\geq a_{n-5}^2$
Posted by anh qua on 09-08-2013 - 22:29 in Dãy số - Giới hạn
#444797 Chứng minh tồn tại vô số n nguyên dương.
Posted by anh qua on 22-08-2013 - 19:24 in Số học
Bài này đúng là không biết bổ đề thì chỉ có ăn hành Chú học gì mấy thứ này, biết thôi chứ thi cử ngoài IMO chắc chả dùng :-j Bổ đề này anh thấy giống giống cái phân bố tập hợp trong sách của anh Tân (nhớ mài mại là thế chứ thực cũng chả nhớ nó là cái gì), thử cm bổ đề này thì anh lại nghĩ đến hàm liên tục
Với một số $k$ bất kì thì dĩ nhiên là $\frac{1}{a_1} \le k$, vì $\lim_{n\rightarrow +\infty }(\frac{n}{a_n})=+\infty$ nên tồn tại $n_0$ mà $\frac{n_0}{a_{n_0}} \le k < \frac{n_0+1}{a_{n_0+1}}$ từ đây suy ra đc là $\frac{n_0}{a_{n_0}} = k $
Sử dụng vào bài toán thì có thể thấy là tồn tại $n$ thỏa mãn. Nhưng thử cho $p=2,m=1$ hoặc $p=m=1$ thì thấy vế vô hạn có vẻ không đúng lắm thì phải :-?
Thực ra em làm một bài thấy cái bổ đề này hay hay nên chế lung tung thôi chứ cái này thì ở VN làm gì thi đến :v
#384110 $x_0=0;x_1=45;x_{n+1}=3x_n+x_{n-1}$
Posted by anh qua on 06-01-2013 - 12:21 in Dãy số - Giới hạn
Kiên thử giải theo cách này đối với bài của Tú xem có đk không??Bài này giống với bài thi HSG QG 2011
Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định bởi $a_0=1,a_1=-1$
$a_n=6a_{n-1}+5a_{n-2}$ với mọi $n\ge 2$
Chứng minh rằng $a_{2012}-2010 $ chia hết cho 2011
Cách giải là tìm CTTQ sau đó dùng định lý Fermat
___
=(( Hôm qua làm cách này tốn cả buổi trưa mà không thu được gì hết.
#383834 $x_0=0;x_1=45;x_{n+1}=3x_n+x_{n-1}$
Posted by anh qua on 05-01-2013 - 15:38 in Dãy số - Giới hạn
Bài toán: Cho dãy số xác định bởi công thức:
$$\left\{\begin{matrix}x_0=0;x_1=45\\ x_{n+1}=3x_n+x_{n-1}\ \ \ \forall n\ge 1\end{matrix}\right.$$
Tìm số dư của $x_{2008}$ cho $2012$
Vấn đề bây giờ là tìm số dư của $x_{2008}$ cho 503.
Xét dãy $a_{n}$ thỏa mãn $a_{0}=0; a_{1}=45; a_{n+1}=3a_{n}+504.a_{n-1}$
Suy ra $a_{n} \equiv x_{n} (mod 503)$
Mà $a_{n}= 24^n-(-21)^n$
Suy ra $a_{2008}=24^{2008}-21^{2008} \equiv 0 (mod 503)$ (chú ý 2008=4.502)
Do đó $x_{n} \equiv 0 (mod 503)$. (1)
Mặt khác dãy $x_{n} (mod 4)$ tuần hoàn chu kì 6 (cái này em tính 10 giá trị mod 4đầu tiên sẽ thấy ngay).
Suy ra $x_{2008} \equiv 2 (mod 4)$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $x_{2008} \equiv 1006 (mod 2012)$.
@ Tú: Bài thầy Sâm à! (_ _^)
#488810 Giải phương trình. $x^2+x-1=x.e^{x^2-1}+(x^2-1).e^x$
Posted by anh qua on 25-03-2014 - 22:34 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
#488692 Giải phương trình. $x^2+x-1=x.e^{x^2-1}+(x^2-1).e^x$
Posted by anh qua on 25-03-2014 - 13:39 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài toán. Giải phương trình.
$x^2+x-1=x.e^{x^2-1}+(x^2-1).e^x$
#521147 Chứng minh : $a\geq \frac{(a,b).(a,c)}{(a,b,c)...
Posted by anh qua on 25-08-2014 - 09:17 in Số học
Chứng minh bổ đề sau :
Cho $a,b,c\in\mathbb{Z^+}$ , khi đó ta có :$$a\geq \frac{(a,b).(a,c)}{(a,b,c)}$$với $(a,b)$ là ước chung lớn nhất của $a,b$ và $(a,b,c)$ là ước chung lớn nhất của $a,b,c$
Attached Files
- bai so hoc.pdf 29.92KB 218 downloads
#666883 Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b...
Posted by anh qua on 03-01-2017 - 23:14 in Bất đẳng thức - Cực trị
Có lẽ đề bài là
Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 = 8 $. Chứng minh rằng. $|a|, |b|, |c| \leq \sqrt{6}.$
Giải:
Vì $a^2+\frac{1}{3} \left(a+b+c-b-c\right)^2\le a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 = 8$ nên $|a|\le \sqrt{6}.$
Cảm ơn bạn, đúng là mình nhấm, phải thay $\sqrt{2} = \sqrt{6}$
Ta có thể tổng quát với $n$ biến $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 + (a_1+a_2+...a_n)^2 = n^2 - 1$ thì $|a_i| \leq \sqrt{n^2-n}$
Lời giải cho trường hợp tổng quát của mình dùng Cauchy Schwarz tương tự như của bạn vanchanh123 ở trên,
#666742 Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b...
Posted by anh qua on 03-01-2017 - 00:04 in Bất đẳng thức - Cực trị
Bài toán. Cho $a, b, c $ là các số thực thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 = 8 $. Chứng minh rằng. $|a|, |b|, |c| \leq \sqrt{6} $
Nguồn: tự chế
#420495 $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy
Posted by anh qua on 23-05-2013 - 16:02 in Hình học
Cho $\vartriangle ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$. Gọi $(X_a)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(AEF)$ tại $A_1$ và tiếp xúc $AE,AF$. Xác định tương tự, ta có $(X_b),B_1,(X_c),C_1$.
Chứng minh rằng: $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.
Gọi $(Y_a)$ là đường tròn tiếp xúc trong với (ABC) tại $A_2$ và tiếp xúc trong với AB,AC.
Chú ý, $A$ là tâm vị tự biến $(I)$ - nội tiếp $ABC$ thành $(Y_a)$, $A_2$ là tâm vị tự biến $(Y_a)$ thành $(ABC)$.
Do đó $AA_2$ đi qua tâm vị tự biến $(I)$ thành $(ABC)$, tương tự có $ AA_2,BB_2, CC_2$ đồng quy.
Chú ý; $AA_1$ và $AA_2$ là hai đường đẳng giác
Do đó $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.
Đoạn lí luận $ AA_2,BB_2, CC_2$ đồng quy có thể dùng tâm tỉ cự sẽ tường minh hơn
#666662 Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a | (b-c)^2; b...
Posted by anh qua on 02-01-2017 - 17:50 in Số học
Bài toán. (Baltic Way Contest) Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $a | (b-c)^2; b | (c-a)^2; c | (a-b)^2$. Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác không suy biến có độ dài 3 cạnh là $a, b, c$
Tam giác suy biến là tam giác có độ dài 1 cạnh bằng tổng độ dài hai cạnh còn lại.
- Diễn đàn Toán học
- → anh qua's Content