Xét tính hội tụ, phân kỳ của các tích phân sau:
Bài 1:
$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sqrt{x^3}}{1+x^2}\: dx$
Bài 2:
$\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{\sqrt{1-x^2}}\: dx$
Có 741 mục bởi Mrnhan (Tìm giới hạn từ 06-06-2020)
Đã gửi bởi Mrnhan on 20-12-2013 - 21:05 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Chứng minh hệ {$e^{a_1x},e^{a_2x},...,e^{a_nx}$} với $a_1,a_2,...,a_n$ đôi một khác nhau là độc lập tuyến tính.
Bài này mình đọc hướng dẫn thì xét ràng buộc tuyến tính:
$$k_1.e^{a_1.x}+k_2.e^{a_2.x}+...+k_n.e^{a_nx}=0$$
Lấy đạo hàm đến cấp $n-1$ cả hai vế ta được hệ:
$\left\{\begin{array}{l}k_1.e^{a_1.x}+k_2.e^{a_2.x}+...+k_n.e^{a_nx}=0 \\ k_1.a_1.e^{a_1.x}+k_2.a_2.e^{a_2.x}+...+k_n.a_n.e^{a_nx}=0 \\...\\k_1.a_1^{n-1}.e^{a_1.x}+k_2.a_2^{n-1}.e^{a_2.x}+...+k_n.a_n^{n-1}.e^{a_n.x}=0 \end{array} \right.$
Đến đây thì sách hướng dẫn rằng chọn biến số $x$ thích hợp để lần lượt suy ra các hệ số $k_i=0$ nhưng mình vẫn chưa biết chọn biến như thế nào cả
Hướng dẫn:
Đến đó thì dùng $Vandermonde$, sau đó suy ra $k_i=0$ thôi!
Đã gửi bởi Mrnhan on 21-12-2013 - 22:31 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Mình đoán vậy chứ cũng không biết hướng làm khi dùng định thức Vandermonde
Hình như ý nha hỏi là "Do hệ phương trình có vô số nghiệm "
Đã gửi bởi Mrnhan on 16-06-2014 - 01:00 trong Giải tích
Ta có:$\sum_{1}^{\infty }sin(\Pi (2+\sqrt{3})^{n})=\sum_{1}^{\infty}sin(\pi[(2+\sqrt{3})^{n}+(2-\sqrt{3})^{n}]-\pi.(2-\sqrt{3})^{n})$(1)
Mặt khác:$(2+\sqrt{3})^{n}=\sum_{0}^{n}C_{n}^{k}2^{n-k}3^{\frac{k}{2}}$
$(2-\sqrt{3})^{n}=\sum_{0}^{n}(-1)^{k}C_{n}^{k}2^{n-k}3^{\frac{k}{2}}$
Nên $(2+\sqrt{3})^{n}+(2-\sqrt{3})^{n}=\left\{\begin{matrix} 0&,k=2l+1 \\ m\in N&,k=2l \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (1)=\sum_{1}^{\infty}sin(m\pi-\pi(2-\sqrt{3})^{n})=\sum_{1}^{\infty}(-1)^{m+1}sin(\frac{\pi}{(2+\sqrt{3})^{n}})$
Đây là chuỗi số đan dấu,hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz
Tao biết mày sai ở đâu rồi, cái m đó thứ nhất nó không cố định, thứ 2 là với giá n khác nhau thì n khác nhau, nên chuỗi này ko đan dấu mà có dấu tùng phèo
Đã gửi bởi Mrnhan on 16-06-2014 - 17:35 trong Giải tích
ah,t nhầm.Thực ra m luôn là số chẵn đúng không nên chuỗi=$-\sum_{1}^{\infty}sin(\frac{\pi}{(2+\sqrt{3})^{n}})$ hội tụ
Tao thấy wolframalpha ra kết quả là phân kỳ.
Đã gửi bởi Mrnhan on 16-06-2014 - 00:47 trong Giải tích
lim không tồn tại chứ không phải là khác 0,lim khác 0 thì mới phân kỳ
Giới hạn này khác không mà chú, chú thử giải nó đi xem có n nào thỏa mãn ko?
Điều kiện cần đề chuỗi hội tụ là lim dãy bằng 0, chú tìm nó có bằng không?
Điều kiện cần mà ko thỏa mãn thì kết luận ngay nó phân kỳ rồi
Đã gửi bởi Mrnhan on 14-02-2014 - 08:43 trong Giải tích
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}.n!}{n^{n}}$
Giải:
Đặt $u_n=\frac{2^n\: n!}{n^n}$
Theo tiêu chuẩn D'Alembert, ta có:
$\lim_{n\to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to \infty} \frac{2}{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n}=\frac{2}{e}<1$
$\to$ Chuỗi đã cho hội tụ.
Theo tiêu chuẩn Cauchy, ta có:
$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{u_n}=2\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{2}{e}<1$
$\to$ Chuỗi đã cho hội tụ.
(Lưu ý: Vì $\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}$, bạn tự chứng minh.
Gợi ý: Dùng định nghĩa của tích phân hay tổng tích phân Riemann)
Bài mới:
Nếu chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n\: n!}{n^n}$ thì chuỗi phân kỳ. Gợi ý: Có thể dùng công thức gần đúng Stirling.
Đã gửi bởi Mrnhan on 06-01-2014 - 20:26 trong Giải tích
$1.\: \int_{0}^{+\infty }\frac{ln^2xdx}{x+x^2}$
$2.\: \int_{0}^{+\infty }\frac{1+sinx}{lnx-3x^2}dx$
$3.\:\int_{0}^{+\infty }\frac{sinx}{x\sqrt{x-1}}dx$
$4.\:\int_{0}^{+\infty }\frac{lnx-ln(x+1))}{\sqrt{x}}dx$
Giải:
2. Tích phân đã cho có 2 điểm bất thường là $x=0,\: \infty$
$+\: 0<\alpha<1,\: x\to 0:\: \lim_{x\to 0} x^\alpha\: \frac{1+\sin x}{\ln x-3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x^\alpha}{\ln x-3x^2}=0$
$+\: 1<\beta<2,\: x\to \infty:\: \lim_{x\to \infty} x^\beta\frac{1+\sin x}{\ln x-3x^2}=0$
$\to$ tích phân HT
3.
4. Tích phân có 2 điểm bất thường là $x=0,\: \infty$
$+\: \frac{1}{2}<\alpha<1:\: \lim_{x\to 0} x^\alpha \frac{\ln x-\ln (1+x)}{\sqrt{x}}=0$
$+\: 1<\beta<\frac{3}{2}:\: \lim_{x\to \infty}x^\beta\frac{\ln x-\ln(1+x)}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to \infty} x^{\beta-\frac{1}{2}}\ln\left ( \frac{x}{1+x} \right )=0$
$\to$ tích phân HT
Đã gửi bởi Mrnhan on 05-01-2014 - 21:59 trong Giải tích
$1.\: \int_{0}^{+\infty }\frac{ln^2xdx}{x+x^2}$
$2.\: \int_{0}^{+\infty }\frac{1+sinx}{lnx-3x^2}dx$$3.\:\int_{0}^{+\infty }\frac{sinx}{x\sqrt{x-1}}dx$
$4.\:\int_{0}^{+\infty }\frac{lnx-ln(x+1))}{\sqrt{x}}dx$
Giải:
$1.\: \int_{0}^{+\infty }\frac{\ln^2x}{x+x^2}dx$
Tích phân có 2 điểm bất thường $x=0, \: \infty$
$+\: \text{khi}\: x\to 0:\: \frac{\ln^2x}{x+x^2}\sim\frac{\ln^2x}{x},\: \to \text{pk}$
Xét 1 điểm mà thấy phân kỳ rồi là cả tích phân nó phân kỳ luôn rôi!!
Câu 3 có vấn đề không??
Đã gửi bởi Mrnhan on 06-01-2014 - 20:56 trong Giải tích
Cho thêm vài câu này, mong thread cho:
$5.\: \int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x}dx$
$6.\: \int_1^\infty \ln^\alpha x\: \frac{\sin x}{x}dx,\: \alpha>0$
$7. \: \int_0^\infty \frac{\cos\alpha x}{1+x^n}dx$
Giải:
5. $I_5=\int_0^\infty \frac{\sin^2x}{x}dx=\int_0^\infty \frac{1}{2x}dx-\int_0^\infty \frac{\cos2x}{2x}dx\to \text{pk}$
6. Lấy $f(x)=\sin x,\: g(x)=\frac{\ln^\alpha x}{x}$
Vì $\int_0^\infty f(x) \: \to \text{bị chặn},\: g(x)\to \text{liên tục và tiến về 0}\to tpht$
7. $+\: \alpha=0\to \int_0^\infty\frac{1}{1+x^n}dx,\: \text{ht}\Rightarrow n>1$
$+\alpha\neq 0,\: n>0\to \int_0^{\infty}\frac{\cos\alpha x}{1+x^n} dx\:\to \text{ht, vì theo tiêu chuẩn Dirichlet}$
Đã gửi bởi Mrnhan on 18-04-2014 - 13:25 trong Giải tích
Xét sự hội tụ của chuỗi sau $$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n-\alpha}}{e^n\: n!},\: \alpha>\frac{1}{2}$$
Nếu áp dụng công thức Stirling thì kết luận ngay chuỗi hội tụ nhưng e không được học công thức này nên có cách nào để chứng minh chuỗi hội tụ không ạ?
Đã gửi bởi Mrnhan on 14-02-2014 - 08:17 trong Giải tích
Ta có sự hội tụ của chuỗi trên tương đương với sự hội tụ của $\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{\ln 2^k}$ mà chuỗi này phân kì nên chuỗi đề bài cho phân kì.
Hình như anh đang dùng "Cauchy consider test" (Em không biết dịch)
$\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} 2^nf(2^n)$
Đã gửi bởi Mrnhan on 05-04-2014 - 12:47 trong Giải tích
Xét sự hội tự của các tích phân suy rộng $$\int_{1}^{+\infty}(1-cos\frac{2}{x})dx$$ và $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x^{2}+x+1)^{2}}$$
Mong mọi người giúp đỡ
Hướng dẫn:
Bài 1. $1-cos\frac{2}{x}=\sin^2\frac{1}{x}$
Nên $$\int_{1}^{\infty} \left ( 1-\cos\frac{2}{x} \right )dx=\int_{1}^{\infty}\sin^2\frac{1}{x}dx$$
Khi $x\to \infty$ thì $\sin^2\frac{1}{x}\sim \frac{1}{x^2}$
Mà $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx$ hội tụ nên $\int_{1}^{\infty} \left ( 1-\cos\frac{2}{x} \right )dx$ hội tụ.
Bài 2. Hội tụ(Bạn tự làm vì nó là bài cơ bản )
Đã gửi bởi Mrnhan on 16-03-2014 - 11:55 trong Giải tích
$\int_{0}^{2}\frac{x^{2a^2-1}}{\sqrt[3]{x(x-2)}}$
Dễ thấy tích phân trên có 2 điểm bất thường $x=0,\: x=2$
Khi $x\to 2$ thì $\frac{x^{2a^2-1}}{\sqrt[3]{x(x-2)}}\sim \frac{1}{\sqrt[3]{x-2}}$
Khi $x\to 0$ thì $\frac{x^{2a^2-1}}{\sqrt[3]{x(x-2)}}\sim\frac{1}{x^{\frac{4}{3}-2a^2}}$
Để tích phân hội tụ thì $\frac{4}{3}-2a^2<1\Rightarrow \left | a \right |>\frac{1}{\sqrt{6}}$
Đã gửi bởi Mrnhan on 26-05-2015 - 17:52 trong Xác suất - Thống kê
Một gia đình 3 con. Xs sinh bằng được con gái trong lần sinh thứ 3 bằng 0.128 . Xs sinh được một con trai trong 3 lần sinh bằng 0.369 . Tìm sx sinh con trai trong 1 lần sinh . Giả thiết xs sinh con trai và con gái trong mỗi lần sinh là độc lập với nhau
Lời giải.
Gọi $x,\, y$ lần lượt là xác suất sinh con trai và con gái. Khi đó ta có hệ sau:
$$\left\{\begin{matrix} x^2y=0.128\\3y^2x=0.369\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0.51\\y=0.49\end{matrix} \right.$$
Vậy xác suất sinh được con trai trong lần sinh thứ nhất là $51\text{%}$
Đã gửi bởi Mrnhan on 23-06-2015 - 07:14 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Ai có tài liệu Học Máy (Machine learning) hoặc Trí Tuệ Nhân Tạo (AI) bằng Tiếng Việt không, dốt tiếng anh nên đọc không hiểu
Đã gửi bởi Mrnhan on 26-06-2015 - 00:00 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Mạng cá mập up lên lâu v~
https://drive.google...iew?usp=sharing
Mà đại ca học Toán tin hay CNTT vậy :v
Haizz, mình học Toán Tin
Thế bạn học cái này rồi à, để mình xin ít kinh nghiệm
Đã gửi bởi Mrnhan on 21-07-2015 - 22:20 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Em down tài liệu về tích trữ trong máy thôi chứ cái này tầm năm 2 mới học
Toán tin ngoài đó học nhiều nhề . Trường em bọn toán tin chỉ học chung mấy môn giải thuật + lập trình :3
Bọn mình hè rảnh rỗi nên kiếm việc làm cho bớt rảnh thôi chứ ko được học ở trường
Đã gửi bởi Mrnhan on 09-05-2014 - 00:03 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Có anh chị hay thầy cô giáo có file hay link tải quyển sách này không ạ: http://books.google....AAAAIAAJ&redir_
Em cảm ơn ạ
Đã gửi bởi Mrnhan on 14-02-2014 - 08:11 trong Giải tích
Tôi đề nghị bạn xem lại và viết lại đề bài một cách hoàn chỉnh, đúng đắn.
Trong tiêu đề bạn viết yêu cầu của đề bài là "Xét sự hội tụ của chuỗi sô". Tuy nhiên trong bài viết thì bạn lại viết một dãy số hữu hạn có số hạng tổng quát là $u_n=\frac{n!}{2^n+1}$.
Giải:
+ Tiêu chuẩn Raabe:
$\lim_{n\to \infty} n\left ( \frac{u_n}{u_{n+1}}-1 \right )=\lim_{n\to \infty} n\left ( \frac{2^{n+1}+1}{(n+1)\left ( 2^n+1 \right )}-1 \right )=-\infty$
$\to$ Chuỗi đã cho phân kỳ.
+ Tiêu chuẩn Cauchy:
$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{u_n}=\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{2^n+1}}=+\infty$
$\to$ CHuỗi đã cho phân kỳ.
+ Tiêu chuẩn D'Alembert:
$\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to \infty} \frac{(1+n)\left ( 1+2^n \right )}{1+2^{n+1}}=+\infty$
$\to$ Chuỗi đã cho phân kỳ.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học